Олимпиадные задачи из источника «14 (2016 год)» - сложность 2-5 с решениями
14 (2016 год)
НазадДан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>A'</i> – точка, симметричная <i>A</i> относительно <i>BC, O<sub>A</sub></i> – центр окружности, проходящей через <i>A</i> и середины отрезков <i>A'B</i> и <i>A'C</i>. Точки <i>O<sub>B</sub></i> и <i>O<sub>C</sub></i> определяются аналогично. Найдите отношение радиусов описанных окружностей треугольников <i>ABC</i> и <i>O<sub>A</sub>O<sub>B</sub>O<sub>C</sub></i>.
Из точки <i>A</i> к окружности ω проведена касательная <i>AD</i> и произвольная секущая, пересекающая окружность в точках <i>B</i> и <i>C</i> (<i>B</i> лежит между точками <i>A</i> и <i>C</i>). Докажите, что окружность, проходящая через точки <i>C</i> и <i>D</i> и касающаяся прямой <i>BD</i>, проходит через фиксированную точку (отличную от <i>D</i>).
В выпуклой <i>n</i>-угольной призме равны все боковые грани. При каких <i>n</i> эта призма обязательно прямая?
Два квадрата расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что площади заштрихованных четырёхугольников равны. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65649/problem_65649_img_2.png"></div>
Дан правильный семиугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub><i>A</i><sub>5</sub><i>A</i><sub>6</sub><i>A</i><sub>7</sub>. Прямые <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub> и <i>A</i><sub>5</sub><i>A</i><sub>6</sub> пересекаются в точке <i>X</i>, а прямые <i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>5</sub> и <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>6</sub> – в точке <i>Y</i>.
Докажите,...
Прямая, проходящая через центр <i>I</i> вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, перпендикулярна <i>AI</i> и пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>C'</i> и <i>B'</i> соответственно. В треугольниках <i>BC'I</i> и <i>CB'I</i> провели высоты <i>C'C</i><sub>1</sub> и <i>B'B</i><sub>1</sub> соответственно. Докажите, что середина отрезка <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> лежит на прямой, проходящей через точку <i>I</i> и перпендикулярной <i>BC</i>.
Дан квадратный лист бумаги со стороной 2016. Можно ли, согнув его не более десяти раз, построить отрезок длины 1?
Точки <i>I<sub>A</sub>, I<sub>B</sub>, I<sub>C</sub></i> – центры вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i>, касающихся сторон <i>BC</i>, <i>AC</i> и <i>AB</i> соответственно. Перпендикуляр, опущенный из <i>I<sub>A</sub></i> на <i>AC</i>, пересекает перпендикуляр, опущенный из <i>I<sub>B</sub></i> на <i>BC</i>, в точке <i>X<sub>C</sub></i>. Аналогично определяются точки <i>X<sub>A</sub></i> и <i>X<sub>B</sub></i>. Докажите, что прямые <i>I<sub>A</sub>X<sub>A</sub>, I<sub>B</sub>X<sub>B</sub><...
Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины гипотенузы <i>AB</i> и катета <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> соответственно. Вневписанная окружность треугольника <i>ACM</i> касается стороны <i>AM</i> в точке <i>Q</i>, а прямой <i>AC</i> – в точке <i>P</i>. Докажите, что точки <i>P</i>, <i>Q</i> и <i>N</i> лежат на одной прямой.
Окружность с центром <i>O</i> проходит через концы гипотенузы прямоугольного треугольника и пересекает его катеты в точках <i>M</i> и <i>K</i>.
Докажите, что расстояние от точки <i>O</i> до прямой <i>MK</i> равно половине гипотенузы.
В прямоугольнике проведена ломаная, соседние звенья которой перпендикулярны и равны меньшей стороне прямоугольника (см. рис).
Найдите отношение сторон прямоугольника.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65642/problem_65642_img_2.png"></div>
В шестиугольнике равны углы, три главные диагонали равны между собой и шесть остальных диагоналей также равны между собой.
Верно ли, что у него равны стороны?