Олимпиадные задачи из источника «XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)» для 8 класса - сложность 3 с решениями
XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)
НазадДьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму <i>s</i> и называет 97 троек {<i>i, j, k</i>}, где <i>i, j, k</i> – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>100</sub> с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников <i>A<sub>i</sub>A<sub>j</sub>A<sub>k</sub></i>. При каком наибольшем <i>s</i> Человеку выгодно согласиться?
В треугольнике<i>ABC I</i>и<i>I<sub>a</sub></i>– центры вписанной и вневписанной окружностей,<i>A'</i>точка описанной окружности, диаметрально противоположная<i>A, AA</i><sub>1</sub>– высота. Докажите, что ∠<i>IA'I<sub>a</sub></i>= ∠<i>IA</i><sub>1</sub><i>I<sub>a</sub></i>.
Из высот остроугольного треугольника можно составить треугольник. Докажите, что из его биссектрис тоже можно составить треугольник.
В точке <i>X</i> сидит преступник, а три полицейских, находящихся в точках <i>A, B</i> и <i>C</i>, блокируют его, то есть точка <i>X</i> лежит внутри треугольника <i>ABC</i>. Новый полицейский сменяет одного из них следующим образом: он занимает точку, равноудаленную от всех трёх полицейских, после чего один из троих уходит, и оставшаяся тройка по-прежнему блокирует преступника. Так происходит каждый вечер. Может ли случиться, что через какое-то время полицейские вновь займут точки <i>A, B</i> и <i>C</i> (известно, что точка <i>X</i> ни разу не попала на сторону треугольника)?
Диагонали четырёхугольника <i>ABCD</i> равны и пересекаются в точке <i>O</i>. Серединные перпендикуляры к сторонам <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а серединные перпендикуляры к сторонам <i>BC</i> и <i>AD</i> – в точке <i>Q</i>. Найдите угол <i>POQ</i>.
Можно ли разрезать правильный десятиугольник по нескольким диагоналям и сложить из получившихся кусков два правильных многоугольника?
Даны трапеция <i>ABCD</i> и перпендикулярная её основаниям <i>AD</i> и <i>BC</i> прямая <i>l</i>. По <i>l</i> движется точка <i>X</i>. Перпендикуляры, опущенные из <i>A</i> на <i>BX</i> и из <i>D</i> на <i>CX</i> пересекаются в точке <i>Y</i>. Найдите ГМТ <i>Y</i>.
Описанная окружность треугольника <i>ABC</i> пересекает стороны <i>AD</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Пусть <i>M</i> – середина дуги <i>KL</i>, не содержащей точку <i>B</i>. Докажите, что <i>DM</i> ⊥ <i>AC</i>.
Правильный шестиугольник <i>ABCDEF</i> вписан в окружность. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> выбраны на касательных, проведённых к этой окружности в точках <i>A</i> и <i>D</i> соответственно, так, что прямая <i>PQ</i> касается меньшей дуги <i>EF</i> этой окружности. Найдите угол между прямыми <i>PB</i> и <i>QC</i>.
По стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> движется точка <i>X</i>, а по описанной окружности Ω – точка <i>Y</i> так, что прямая <i>XY</i> проходит через середину дуги <i>AB</i>. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников <i>IXY</i>, где <i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
В четырёхугольнике <i>ABCD AB = CD, M</i> и <i>K</i> – середины <i>BC</i> и <i>AD</i>. Докажите, что угол между <i>MK</i> и <i>AC</i> равен полусумме углов <i>BAC</i> и <i>DCA</i>.