Олимпиадные задачи из источника «37 турнир (2015/2016 год)» для 6-11 класса - сложность 3 с решениями

На сферической планете с длиной экватора 1 планируют проложить<i>N</i>кольцевых дорог, каждая из которых будет идти по окружности длины 1. Затем по каждой дороге запустят несколько поездов. Все поезда будут ездить по дорогам с одной и той же положительной постоянной скоростью, никогда не останавливаясь и не сталкиваясь. Какова в таких условиях максимально возможная суммарная длина всех поездов? Поезда считайте дугами нулевой толщины, из которых выброшены концевые точки. Решите задачу в случаях:  а)  <i>N</i>= 3;  б)  <i>N</i>= 4.

а) Есть неограниченный набор карточек со словами "<i>abc</i>", "<i>bca</i>", "<i>cab</i>". Из них составляют слово по такому правилу. В качестве начального слова выбирается любая карточка, а далее на каждом шаге к имеющемуся слову можно либо приклеить карточку слева или справа, либо разрезать слово в любом месте (между буквами) и вклеить карточку туда. Можно ли так составить палиндром? б) Есть неограниченный набор красных карточек со словами "<i>abc</i>", "<i>bca</i>", "<i>cab</i>" и синих карточек со словами "<i>cba</i>", "<i>acb</i>", "<i>bac</i>". Из них по тем же правилам составили палиндром...

На доске написано несколько приведённых многочленов 37-й степени, все коэффициенты которых неотрицательны. Разрешается выбрать любые два выписанных многочлена  <i>f</i> и <i>g</i> и заменить их на такие два приведённых многочлена 37-й степени  <i>f</i>₁ и <i>g</i>₁, что  <i>f + g = f</i>₁ + <i>g</i>₁  или  <i>fg = f</i>₁<i>g</i>₁.  Докажите, что после применения любого конечного числа таких операций не может оказаться, что каждый многочлен на доске имеет 37 различных положительных корней.

В стране 64 города, некоторые пары из них соединены дорогой, но нам неизвестно, какие именно. Можно выбрать любую пару городов и получить ответ на вопрос “есть ли дорога между ними?”. Нужно узнать, можно ли в этой стране добраться от любого города до любого другого, двигаясь по дорогам. Докажите, что не существует алгоритма, позволяющего сделать это менее чем за 2016 вопросов.

а) Есть  2<i>n</i> + 1  батарейка  (<i>n</i> > 2).  Известно, что хороших среди них на одну больше, чем плохих, но какие именно батарейки хорошие, а какие плохие, неизвестно. В фонарик вставляются две батарейки, при этом он светит, только если обе они хорошие. За какое наименьшее число таких попыток можно гарантированно добиться, чтобы фонарик светил? б) Та же задача, но батареек 2<i>n</i>  (<i>n</i> > 2),  причём хороших и плохих поровну.

Робот-пылесос, имеющий форму круга, проехал по плоскому полу. Для каждой точки граничной окружности робота можно указать прямую, на которой эта точка оставалась в течение всего времени движения. Обязательно ли и центр робота оставался на некоторой прямой в течение всего времени движения?

Пусть <i>p</i> – простое число, большее 10^<i>k</i>. Взяли число, кратное <i>p</i>, и вставили между какими-то двумя его соседними цифрами <i>k</i>-значное число <i>A</i>. Получили число, кратное <i>p</i>. В него вставили <i>k</i>-значное число <i>B</i> – между двумя соседними цифрами числа <i>A</i>, – и результат снова оказался кратным <i>p</i>. Докажите, что число <i>B</i> получается из числа <i>A</i> перестановкой цифр.

Художник-абстракционист взял деревянный куб 5×5×5, разбил каждую грань на единичные квадраты и окрасил каждый из них в один из трёх цветов – чёрный, белый или красный – так, что нет соседних по стороне квадратов одного цвета. Какое наименьшее число чёрных квадратов могло при этом получиться? (Квадраты, имеющие общую сторону, считаются соседними и в случае, когда они лежат на разных гранях куба.)

На каждом из 12 рёбер куба отметили его середину. Обязательно ли сфера проходит через все отмеченные точки, если известно, что она проходит   а) через какие-то 6 из отмеченных точек;   б) через какие-то 7 из отмеченных точек?

Фирма записала свои расходы в рублях по 100 статьям бюджета, получив список из 100 чисел (у каждого числа не более двух знаков после запятой). Каждый счетовод взял копию списка и нашёл приближённую сумму расходов, действуя следующим образом. Вначале он произвольно выбрал из списка два числа, сложил их, отбросил у суммы знаки после запятой (если они были) и записал результат вместо выбранных двух чисел. С полученным списком из 99 чисел он проделал то же самое, и так далее, пока в списке не осталось одно целое число. Оказалось, что в итоге все счетоводы получили разные результаты. Какое наибольшее число счетоводов могло работать в фирме?

На листе бумаги синим карандашом нарисовали треугольник, а затем провели в нём красным карандашом медиану, биссектрису и высоту (возможно, не все из разных вершин), лежащие внутри треугольника. Получили разбиение треугольника на части. Мог ли среди этих частей оказаться равносторонний треугольник с красными сторонами?

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 60°, <i>H</i> – точка пересечения высот. Окружность с центром <i>H</i> и радиусом <i>HC</i> второй раз пересекает прямые <i>CA</i> и <i>CB</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AN</i> и <i>BM</i> параллельны (или совпадают).

Дан вписанный четырёхугольник <i>АВСD</i>. Продолжения его противоположных сторон пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Пусть <i>К</i> и <i>N</i> – середины диагоналей.

Докажите, что сумма углов <i>PKQ</i> и <i>PNQ</i> равна 180°.

Дан клетчатый квадрат 10×10. Внутри него провели 80 единичных отрезков по линиям сетки, которые разбили квадрат на 20 многоугольников равной площади. Докажите, что все эти многоугольники равны.

У Деда Мороза было <i>n</i> сортов конфет, по <i>k</i> штук каждого сорта. Он распределил все конфеты как попало по <i>k</i> подаркам, в каждый – по <i>n</i> конфет, и раздал их <i>k</i> детям. Дети решили восстановить справедливость. Два ребёнка готовы передать друг другу по конфете, если каждый получает конфету сорта, которого у него нет. Всегда ли можно организовать серию обменов так, что у каждого окажутся конфеты всех сортов?

Петя увидел на доске несколько различных чисел и решил составить выражение, среди значений которого все эти числа есть, а других нет. Составляя выражение, Петя может использовать какие угодно числа, особый знак "±", а также обычные знаки "+", "–", "×" и скобки. Значения составленного выражения он вычисляет, выбирая для каждого знака "±" либо "+", либо "–" во всех возможных комбинациях. Например, если на доске были числа 4 и 6, подойдёт выражение  5 ± 1,  а если на доске были числа 1, 2 и 3, то подойдёт выражение  (2 ± 0,5) ± 0,5.  Возможно ли составить необходимое выражение, если на доске были написаны

  а) числа 1, 2, 4;

  б) любые 100 различных действительных чисел?

В треугольнике <i>ABC</i> медианы <i>AA</i>₀, <i>BB</i>₀, <i>CC</i>₀ пересекаются в точке <i>M</i>.

Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>MA</i>₀<i>B</i>₀, <i>MCB</i>₀, <i>MA</i>₀<i>C</i>₀, <i>MBC</i>₀ и точка <i>M</i> лежат на одной окружности.

Из спичек сложен клетчатый квадрат 9×9, сторона каждой клетки – одна спичка. Петя и Вася по очереди убирают по спичке, начинает Петя. Выиграет тот, после чьего хода не останется целых квадратиков 1×1. Кто может действовать так, чтобы обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

Дана бесконечно возрастающая арифметическая прогрессия. Первые её несколько членов сложили и сумму объявили первым членом новой последовательности, затем сложили следующие несколько членов исходной прогрессии и сумму объявили вторым членом новой последовательности, и так далее. Могла ли новая последовательность оказаться геометрической прогрессией?

Даны равнобедренный прямоугольный треугольник <i>ABC</i> и прямоугольный треугольник <i>ABD</i> с общей гипотенузой <i>AB</i> (<i>D</i> и <i>C</i> лежат по одну сторону от прямой <i>AB</i>). Пусть <i>DK</i> – биссектриса треугольника <i>ABD</i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>ACK</i> лежит на прямой <i>AD</i>.

В стране 100 городов, между каждыми двумя городами осуществляется беспосадочный перелёт. Все рейсы платные и стоят положительное (возможно, нецелое) число тугриков. Для любой пары городов А и Б перелёт из А в Б стоит столько же, сколько перелёт из Б в А. Средняя стоимость перелёта равна 1 тугрику. Путешественник хочет облететь какие-нибудь <i>m</i> разных городов за <i>m</i> перелётов, начав и закончив в своём родном городе. Всегда ли ему удастся совершить такое путешествие, потратив на билеты не более <i>m</i> тугриков, если

  а)  <i>m</i> = 99;

  б)  <i>m</i> = 100?

На катетах <i>AC</i> и <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> отметили точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, а на гипотенузе <i>AB</i> – точку <i>M</i> так, что  <i>AK = BL = a,

KM = LM = b</i>  и угол <i>KML</i> прямой. Докажите, что  <i>a = b</i>.

Трое играют в "камень-ножницы-бумагу". В каждом раунде каждый наугад показывает "камень", "ножницы" или "бумагу". "Камень" побеждает "ножницы", "ножницы" побеждают "бумагу", "бумага" побеждает "камень". Если в раунде было показано ровно два различных элемента (и значит, один из них показали дважды), то игроки (или игрок), показавшие победивший элемент, получают по 1 баллу; иначе баллы никому не начисляются. После нескольких раундов оказалось, что все элементы были показаны одинаковое количество раз. Докажите, что в этот момент сумма набранных всеми баллов делилась на 3.