Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 11 класса - сложность 3-4 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>B</i> равен 60°. Точка <i>D</i> внутри треугольника такова, что  ∠<i>ADB</i> = ∠<i>ADC</i> = ∠<i>BDC</i>.

Найдите наименьшее значение площади треугольника <i>ABC</i>, если  <i>BD = a</i>.

В треугольнике <i>АВС</i> проведена биссектриса <i>АА</i>₁. Докажите, что серединный перпендикуляр к <i>АА</i>₁, перпендикуляр к <i>ВС</i>, проходящий через точку <i>А</i>₁, и прямая <i>АО</i> (<i>О</i> – центр описанной окружности) пересекаются в одной точке.

В треугольнике <i>ABC</i>:  ∠<i>B</i> = 22,5°,  ∠<i>C</i> = 45°.  Докажите, что высота <i>АН</i>, медиана <i>BM</i> и биссектриса <i>CL</i> пересекаются в одной точке.

В кубе с ребром длины 1 провели два сечения в виде правильных шестиугольников. Найдите длину отрезка, по которому эти сечения пересекаются.

а) Внутри сферы находится некоторая точка <i>A</i>. Через <i>A</i> провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках. Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр <i>A</i> не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из <i>A</i> в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек.

Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны соответственно точки <i>C</i>₁ и <i>A</i>₁, отличные от вершин. Пусть <i>K</i> – середина <i>A</i>₁<i>C</i>₁, а <i>I</i> – центр окружности, вписанной в треугольник <i>ABC</i>. Оказалось, что четырёхугольник <i>A</i>₁<i>BC</i>₁<i>I</i> вписанный. Докажите, что угол <i>AKC</i> тупой.

Докажите, что можно на каждом ребре произвольного тетраэдра записать по неотрицательному числу так, чтобы сумма чисел на сторонах каждой грани численно равнялась её площади.

Равнобедренный треугольник с углом 120° сложен ровно из трёх слоёв бумаги. Треугольник развернули – и получился прямоугольник. Нарисуйте такой прямоугольник и покажите пунктиром линии сгиба.

На окружности отмечено 2<i>n</i> + 1  точек, делящих её на равные дуги  (<i>n</i> ≥ 2).  Двое по очереди стирают по одной точке. Если после хода игрока все треугольники с вершинами в ещё отмеченных точках – тупоугольные, он выигрывает, и игра заканчивается. Кто выиграет при правильной игре: начинающий игру или его противник?

Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ выбраны на сторонах <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> соответственно. Оказалось, что  <i>AB</i>₁ – <i>AC</i>₁ = <i>CA</i>₁ – <i>CB</i>₁ = <i>BC</i>₁ – <i>BA</i>₁.  Пусть <i>O_A</i>, <i>O_B</i> и <i>O_C</i> – центры описанных окружностей треугольников <i>AB</i><sub>1</sub&...

Дана пирамида <i>SA</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i>, основание которой – выпуклый многоугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i>. Для каждого  <i>i</i> = 1, 2, ..., <i>n</i>  в плоскости основания построили треугольник <i>X_iA_iA</i>_<i>i</i>+1, равный треугольнику <i>SA_iA</i>_<i>i</i>+1 и лежащий по ту же сторону от прямой <i>A_iA</i><sub><i>i</i>+1</sub&gt...

Клетчатая плоскость раскрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Затем белые клетки снова раскрашены в красный и синий цвета так, чтобы клетки, соседние по углу, были разноцветными. Пусть <i>l</i> – прямая, не параллельная сторонам клеток. Для каждого отрезка <i>I</i>, параллельного <i>l</i>, посчитаем разность сумм длин его красных и синих участков. Докажите, что существует число <i>C</i> (зависящее только от прямой <i>l</i>) такое, что все полученные разности не превосходят <i>C</i>.

Точка <i>E</i> – середина отрезка, соединяющего ортоцентр неравнобедренного остроугольного треугольника <i>ABC</i> с его вершиной <i>A</i>. Вписанная окружность этого треугольника касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>C'</i> и <i>B'</i> соответственно. Докажите, что точка <i>F</i>, симметричная точке <i>E</i> относительно прямой <i>B'C'</i>, лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.

Окружность ω, вписанная в остроугольный неравнобедренный треугольник <i>ABC</i>, касается стороны <i>BC</i> в точке <i>D</i>. Пусть точка <i>I</i> – центр окружности ω, а <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Описанная окружность треугольника <i>AID</i>, пересекает вторично прямую <i>AO</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что длина отрезка <i>AE</i> равна радиусу окружности ω.

Касательные, проведённые к описанной окружности остроугольного треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i> и <i>C</i>, пересекаются в точке <i>Z. AA</i>₁, <i>CC</i>₁ – высоты. Прямая <i>A</i>₁<i>C</i>₁ пересекает прямые <i>ZA, ZC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>ABC</i> и <i>XYZ</i> касаются.

Внутри окружности с центром <i>O</i> отмечены точки <i>A</i> и <i>B</i> так, что  <i>OA = OB</i>.

Постройте на окружности точку <i>M</i>, для которой сумма расстояний до точек <i>A</i> и <i>B</i> наименьшая среди всех возможных.

Внутри выпуклого многогранника выбрана точка <i>P</i> и несколько прямых  <i>l</i>₁, ..., <i>l_n</i>,  проходящих через <i>P</i> и не лежащих в одной плоскости. Каждой грани многогранника поставим в соответствие ту из прямых  <i>l</i>₁, ..., <i>l_n</i>,  которая образует наибольший угол с плоскостью этой грани (если таких прямых несколько, выберем любую из них). Докажите, что найдётся грань, которая пересекается с соответствующей ей прямой.

<i>H</i> – точка пересечения высот <i>AA'</i> и <i>BB'</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Прямая, перпендикулярная <i>AB</i>, пересекает эти высоты в точках <i>D</i> и <i>E</i>, а сторону <i>AB</i> – в точке <i>P</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>DEH</i> лежит на отрезке <i>CP</i>.

В выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE</i>:  ∠<i>A</i> = ∠<i>C</i> = 90°,  <i>AB = AE</i>,  <i>BC = CD</i>,  <i>AC</i> = 1.  Найдите площадь пятиугольника.

а) В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь <i>n</i>-го прямоугольника равна <i>n</i>². Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.б) Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа <i>N</i> найдутся квадраты суммарной площади больше <i>N</i>?

Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.

Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116727/problem_116727_img_2.gif"> .

Внутри круга отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.

Докажите, что их можно разбить на пары и провести прямую через каждую пару так, чтобы все точки пересечения прямых были в круге.

В равностороннем треугольнике <i>ABC</i> провели высоту <i>AH</i>. В треугольнике <i>ABH</i> отметили точку <i>I</i> пересечения биссектрис. В треугольниках <i>ABI, BCI</i> и <i>CAI</i> тоже отметили точки пересечения биссектрис – <i>L, K</i> и <i>J</i> соответственно. Найдите угол <i>KJL</i>.

После обеда на <i>прозрачной</i> квадратной скатерти остались тёмные пятна общей площади <i>S</i>. Оказалось, что если сложить скатерть пополам вдоль любой из двух линий, соединяющих середины противоположных её сторон, или же вдоль одной из двух её диагоналей, то общая видимая площадь пятен будет равна <i>S</i>₁. Если же сложить скатерть пополам вдоль другой её диагонали, то общая видимая площадь пятен останется равна <i>S</i>. Какое наименьшее значение может принимать величина  <i>S</i>₁ : <i>S</i>?

Про бесконечный набор прямоугольников известно, что в нём для любого числа <i>S</i> найдутся прямоугольники суммарной площади больше <i>S</i>.

  а) Обязательно ли этим набором можно покрыть всю плоскость, если при этом допускаются наложения?

  б) Тот же вопрос, если дополнительно известно, что все прямоугольники в наборе являются квадратами.