Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства» для 8-9 класса - сложность 2-4 с решениями
Пусть <i>T</i><sub>α</sub>(<i>x, y, z</i>) ≥ <i>T</i><sub>β</sub>(<i>x, y, z</i>) для всех неотрицательных <i>x, y, z</i>. Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61423/problem_61423_img_2.gif"> Определение многочленов <i>T</i><sub>α</sub> смотри в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161417">161417</a>, про показатели смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">справочнике</a>.
а) Диаграммы Юнга (4, 1, 1) и (3, 3, 0) не сравнимы, – ни одна из них не мажорирует другую. Есть ли еще такие несравнимые наборы с суммой 6? б) Найдите все несравнимые пары наборов для <i>s</i> = 7. Про диаграммы Юнга смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">здесь</a>.
Нарисуйте все лестницы из четырёх кирпичей в порядке убывания, начиная с самой крутой (4, 0, 0, 0) и заканчивая самой пологой (1, 1, 1, 1).
Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61420/problem_61420_img_2.gif"> тогда и только тогда, когда β можно получить из α проделав несколько (может быть один раз или ни одного) операции вида <div align="CENTER">(<i>k, j, i</i>) ↔ (<i>k</i> – 1, <i>j</i> + 1, <i>i</i>), (<i>k, j, i</i>) ↔ (<i>k</i> – 1, <i>j, i</i> + 1), (<i>k, j, i</i>) ↔ (<i>k, j</i> – 1, <i>i</i> + 1). </div>(Эти операции можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга. Про диаграммы Юнга смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">зд...
Напишите многочлены <i>T</i><sub>α</sub> и нарисуйте соответствующие им диаграммы Юнга для следующих наборов α
а) (3, 2); б) (3, 2, 1); в) (3, 3, 0, 0); г) (4, 1, 1, 0).
Определение многочленов <i>T</i><sub>α</sub> смотри в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161417">161417</a>, определение диаграмм Юнга в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">справочнике</a>.
Докажите неравенства:
а) <i>x</i><sup>4</sup> + <i>y</i><sup>4</sup> + <i>z</i><sup>4</sup> ≥ <i>x</i>²<i>yz</i> + <i>xy</i>²<i>z</i> + <i>xyz</i>²;
б) <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ ≥ 3<i>xyz</i>;
в) <i>x</i><sup>4</sup> + <i>y</i><sup>4</sup> + <i>z</i><sup>4</sup> + <i>t</i><sup>4</sup> ≥ 4<i>xyzt</i>;
г) <i>x</i><sup>5</sup> + <i>y</i><sup>5</sup> ≥ <i>x</i>³<i>y</i>² + <i>x</i>²<i>y<...
Докажите, что если <i>x + y + z</i> = 6, то <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ 12.
<b>Спортпрогноз.</b>Предположим, что ожидается баскетбольный матч между двумя командами<i>A</i>и<i>B</i>, в котором возможно только два исхода: одна из команд выигрывает. Две букмекерские конторы принимают ставки с разными коэффициентами<i>k</i><sub>A</sub><sup>(1)</sup>,<i>k</i><sub>B</sub><sup>(1)</sup>,<i>k</i><sub>A</sub><sup>(2)</sup>,<i>k</i><sub>B</sub><sup>(2)</sup>. Например, если игрок сделал ставку<i>N</i>в первой конторе на команду<i>A</i>, и эта команда выиграла, то игрок получает сумму<i>k</i><sub>A</sub><sup>(1) . </sup><i>N</i>...
Выведите из неравенства задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161401">161401</a> а) <i>неравенство Коши-Буняковского</i>: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61402/problem_61402_img_2.gif"> б) неравенство <i>между средним арифметическим и средним квадратичным</i>: <img width="98" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61402/problem_61402_img_3.gif"> ≤ <img width="114" height="63" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61402/problem_61402_img_4.gif">; в) неравенство <i>между средним арифметическим и средним гармоническим</i>: ...
Докажите неравенство: <img width="23" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61401/problem_61401_img_2.gif"> + ... + <img width="23" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61401/problem_61401_img_3.gif"> ≥ <img width="114" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61401/problem_61401_img_4.gif">.
Значения переменных считаются положительными.
Докажите справедливость оценок: а) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61398/problem_61398_img_2.gif"> б) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61398/problem_61398_img_3.gif"> в) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61398/problem_61398_img_4.gif"> г) <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61398/problem_61398_img_5.gif">
Как расставить скобки в выражении2<sup>2<sup>.<sup>.<sup>.<sup>2</sup></sup></sup></sup></sup>, чтобы оно было максимальным?
Докажите, что при <i>x</i> ∈ (0, <sup>π</sup>/<sub>2</sub>) выполняется неравенство <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61395/problem_61395_img_2.gif">
Найдите наименьшую величину выражения <img width="119" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61393/problem_61393_img_2.gif"> + <img width="119" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61393/problem_61393_img_3.gif"> + ... + <img width="127" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61393/problem_61393_img_4.gif">.
Даны рациональные положительные <i>p, q</i>, причём <sup>1</sup>/<sub><i>p</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>q</i></sub> = 1. Докажите, что для положительных <i>a</i> и <i>b</i> выполняется неравенство <i>ab ≤ <sup>a<sup>p</sup></sup></i>/<i><sub>p</sub> + <sup>b<sup>q</sup></sup></i>/<sub><i>q</i></sub>.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> сумма <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61391/problem_61391_img_2.gif"> лежит в пределах от ½ до ¾.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> справедливо неравенство <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61390/problem_61390_img_2.gif">
Докажите неравенство (1 + <i>x</i><sub>1</sub>)...(1 + <i>x</i><sub><i>n</i></sub>) ≥ 2<sup><i>n</i></sup>, где <i>x</i><sub>1</sub>...<i>x<sub>n</sub></i> = 1.
Значения переменных считаются положительными.
Докажите, что при <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>a<sub>n</sub></i> ≥ 0 выполняется неравенство <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61388/problem_61388_img_2.gif">
Докажите неравенства: <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61387/problem_61387_img_2.gif">
Значения переменных считаются положительными.
Докажите <i>неравенство Чебышёва</i> <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61386/problem_61386_img_2.gif"> при условии, что <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>a<sub>n</sub></i> и
<i>b</i><sub>1</sub> ≥ <i>b</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>b<sub>n</sub></i>.
Докажите, что если <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>a<sub>n</sub></i>, <i>b</i><sub>1</sub> ≥ <i>b</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>b<sub>n</sub></i>, то наибольшая из сумм вида <i>a</i><sub>1</sub><i>b</i><sub><i>k</i><sub>1</sub></sub> + <i>a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub><i>k</i><sub>2</sub></sub> + ... + <i>a<sub>n</sub>b<sub>k<sub>n</sub></sub></i> (<i>k</i><sub>1</sub>, <i>k</i><sub>2<...
Докажите неравенство 3(<i>a</i><sub>1</sub><i>b</i><sub>1</sub>+<i>a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub>2</sub>+<i>a</i><sub>3</sub><i>b</i><sub>3</sub>) ≥ (<i>a</i><sub>1</sub>+<i>a</i><sub>2</sub>+<i>a</i><sub>3</sub>)(<i>b</i><sub>1</sub>+<i>b</i><sub>2</sub>+<i>b</i><sub>3</sub>) при <i>a</i><sub>1</sub>≥<i>a</i><sub>2</sub>≥<i>a</i><sub>3</sub>, <i>b</i><sub>1</sub>≥<i>b</i><sub>2</sub>≥...
Докажите для положительных значений переменных неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61383/problem_61383_img_2.gif">
Докажите неравенство для положительных значений переменных: <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61382/problem_61382_img_2.gif">