Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства для элементов треугольника» для 9-11 класса - сложность 2-5 с решениями

Окружность <i>S</i>₁касается сторон <i>AC</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>, окружность <i>S</i>₂касается сторон <i>BC</i>и <i>AB</i>, кроме того, <i>S</i>₁и <i>S</i>₂касаются друг друга внешним образом. Докажите, что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса вписанной окружности <i>S</i>.

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>X</i>,<i>Y</i>,<i>Z</i>так, что прямые <i>AX</i>,<i>BY</i>,<i>CZ</i>пересекаются в одной точке <i>O</i>. Докажите, что из отношений <i>OA</i>:<i>OX</i>,<i>OB</i>:<i>OY</i>,<i>OC</i>:<i>OZ</i>по крайней мере одно не больше 2 и одно не меньше 2.

В треугольнике <i>ABC</i>проведены биссектрисы <i>AK</i>и <i>CM</i>. Докажите, что если <i>AB</i>><i>BC</i>, то <i>AM</i>><i>MK</i>><i>KC</i>.

На продолжении наибольшей стороны <i>AC</i>треугольника <i>ABC</i>за точку <i>C</i>взята точка <i>D</i>так, что <i>CD</i>=<i>CB</i>. Докажите, что угол <i>ABD</i>не острый.

Внутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>O</i>. Докажите, что<i>AO</i>sin <i>BOC</i>+<i>BO</i>sin <i>AOC</i>+<i>CO</i>sin <i>AOB</i>$\leq$<i>p</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>стороны равны <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>; соответственные углы (в радианах) равны $\alpha$,$\beta$,$\gamma$. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle {\frac{a\alpha +b\beta +c\gamma }{a+b+c}}$ < $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$. </div>

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>биссектриса <i>AD</i>, медиана <i>BM</i>и высота <i>CH</i>пересекаются в одной точке. В каких пределах может изменяться величина угла <i>A</i>?

Через вершину <i>A</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>с основанием <i>AC</i>проведена окружность, касающаяся стороны <i>BC</i>в точке <i>M</i>и пересекающая сторону <i>AB</i>в точке <i>N</i>. Докажите, что <i>AN</i>><i>CM</i>.

Медианы <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁треугольника <i>ABC</i>перпендикулярны. Докажите, что <i>ctgA</i>+<i>ctgB</i>$\geq$2/3.

В треугольнике <i>ABC</i>сторона <i>c</i>наибольшая, а <i>a</i>наименьшая. Докажите, что <i>l</i>_c$\leq$<i>h</i>_a.

Докажите, что выпуклый пятиугольник <i>ABCDE</i>с равными сторонами, углы которого удовлетворяют неравенствам $\angle$<i>A</i>$\geq$$\angle$<i>B</i>$\geq$$\angle$<i>C</i>$\geq$$\angle$<i>D</i>$\geq$$\angle$<i>E</i>, является правильным.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>наибольшая из высот <i>AH</i>равна медиане <i>BM</i>. Докажите, что $\angle$<i>B</i>$\leq$60^<tt>o</tt>.

Пусть <i>ABCD</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ — два выпуклых четырехугольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что если $\angle$<i>A</i>>$\angle$<i>A</i>₁, то $\angle$<i>B</i><$\angle$<i>B</i>₁,$\angle$<i>C</i>>$\angle$<i>C</i>₁,$\angle$<i>D</i><$\angle$<i>D</i>₁.

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что площадь одного из треугольников <i>AB</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₁<i>BC</i>₁,<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>не превосходит: а) <i>S</i>_ABC/4; б) <i>S</i>_A₁B₁C₁.

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты произвольные точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Пусть <i>a</i>=<i>S</i>_AB₁C₁,<i>b</i>=<i>S</i>_A₁BC₁,<i>c</i>=<i>S</i>_A₁B₁Cи <i>u</i>=<i>S</i>_A₁B₁C₁. Докажите, что<div align=&q...

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, причем <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в одной точке. Докажите, что <i>S</i>_A₁B₁C₁/<i>S</i>_ABC$\leq$1/4.

Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>и<i>a'</i>,<i>b'</i>,<i>c'</i>— длины сторон треугольников<i>ABC</i>и<i>A'B'C'</i>,<i>S</i>и<i>S'</i>— их площади. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i>²(- <i>a'</i>² + <i>b'</i>² + <i>c'</i>²) + <i>b</i>²(<i>a'</i>² - <i>b'</i>² + <i>c'</i>²) + <i>c</i><sup>2</...

Докажите, что а) <i>S</i>³$\leq$($\sqrt{3}$/4)³(<i>abc</i>)²; б) 3<i>h</i>_a<i>h</i>_b<i>h</i>_c$\leq$43$\sqrt{S}$$\leq$3<i>r</i>_a<i>r</i>_b<i>r</i>_c.

Докажите, что <i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²- (<i>a</i>-<i>b</i>)²- (<i>b</i>-<i>c</i>)²- (<i>c</i>-<i>a</i>)²$\geq$4$\sqrt{3}$<i>S</i>.

Докажите, что:

  а)   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/57463/problem_57463_img_2.gif">   б)   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/57463/problem_57463_img_3.gif">

Из медиан треугольника с углами $\alpha$,$\beta$и $\gamma$составлен треугольник с углами $\alpha_{m}^{}$,$\beta_{m}^{}$и $\gamma_{m}^{}$(угол $\alpha_{m}^{}$лежит против медианы <i>AA</i>₁и т. д.) Докажите, что если $\alpha$>$\beta$>$\gamma$, то $\alpha$>$\alpha_{m}^{}$,$\alpha$>$\beta_{m}^{}$,$\gamma_{m}^{}$>$\beta$>$\alpha_{m}^{}$,$\beta_{m}^{}$>$\gamma$и $\gamma_{m}^{}$>$\gamma$.

Вписанная окружность касается сторон треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что треугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁остроугольный.

На медиане <i>BM</i>треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>X</i>. Докажите, что если <i>AB</i><<i>BC</i>, то $\angle$<i>XAB</i>>$\angle$<i>XCB</i>.

Докажите, что cos 2$\alpha$+ cos 2$\beta$- cos 2$\gamma$$\leq$3/2.

Пусть $\alpha$,$\beta$,$\gamma$ — углы остроугольного треугольника. Докажите, что если $\alpha$<$\beta$<$\gamma$, то sin 2$\alpha$> sin 2$\beta$> sin 2$\gamma$.