Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Правильный треугольник» для 1-10 класса
параграф 3. Правильный треугольник
НазадРадиус вписанной окружности треугольника равен 1, длины высот — целые числа. Докажите, что треугольник правильный.
В треугольник <i>ABC</i>вписана окружность, касающаяся его сторон в точках <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>,<i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что если треугольники <i>ABC</i>и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>подобны, то треугольник <i>ABC</i>правильный.
а) Докажите, что если <i>a</i>+<i>h</i><sub>a</sub>=<i>b</i>+<i>h</i><sub>b</sub>=<i>c</i>+<i>h</i><sub>c</sub>, то треугольник <i>ABC</i>правильный. б) В треугольник <i>ABC</i>вписаны три квадрата: у одного две вершины лежат на стороне <i>AC</i>, у другого — на <i>BC</i>, у третьего — на <i>AB</i>. Докажите, что если все три квадрата равны, то треугольник <i>ABC</i>правильный.
Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного треугольника делит высоты в одном и том же отношении, то треугольник правильный.
Окружность делит каждую из сторон треугольника на три равные части. Докажите, что этот треугольник правильный.
Точки <i>D</i>и <i>E</i>делят стороны <i>AC</i>и <i>AB</i>правильного треугольника <i>ABC</i>в отношениях <i>AD</i>:<i>DC</i>=<i>BE</i>:<i>EA</i>= 1 : 2. Прямые <i>BD</i>и <i>CE</i>пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что $\angle$<i>AOC</i>= 90<sup><tt>o</tt></sup>.
Из точки <i>M</i>, лежащей внутри правильного треугольника <i>ABC</i>, опущены перпендикуляры <i>MP</i>,<i>MQ</i>и <i>MR</i>на стороны <i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>соответственно. Докажите, что <i>AP</i><sup>2</sup>+<i>BQ</i><sup>2</sup>+<i>CR</i><sup>2</sup>=<i>PB</i><sup>2</sup>+<i>QC</i><sup>2</sup>+<i>RA</i><sup>2</sup>и <i>AP</i>+<i>BQ</i>+<i>CR</i>=<i>PB</i>+<i>QC</i>+<i>RA</i>.