Олимпиадные задачи из источника «параграф 8. Теорема Чевы» для 3-10 класса - сложность 5 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i>проведены биссектрисы <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁. Биссектрисы <i>AA</i>₁и <i>CC</i>₁пересекают отрезки <i>C</i>₁<i>B</i>₁и <i>B</i>₁<i>A</i>₁в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что $\angle$<i>MBB</i>₁=$\angle$<i>NBB</i>₁.

а) На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>с основанием <i>AB</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁так, что прямые <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в одной точке. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ABB_1\sin CAA_1}{\sin BAA_1\sin CBB_1}}$. </div> б) Внутри равнобедренного треугольника <i>ABC</i>с основанием <i>AB</i>взяты точки <i>M</i>и <i&...

Внутри треугольника<i>ABC</i>взята точка<i>X</i>. Прямая<i>AX</i>пересекает описанную окружность в точке<i>A</i>₁. В сегмент, отсекаемый стороной<i>BC</i>, вписана окружность, касающаяся дуги<i>BC</i>в точке<i>A</i>₁, а стороны<i>BC</i> — в точке<i>A</i>₂. Точки<i>B</i>₂и<i>C</i>₂определяются аналогично. Докажите, что прямые<i>AA</i>₂,<i>BB</i>₂и<i>CC</i>₂пересекаются в одной точке.

Вписанная окружность треугольника<i>ABC</i>касается его сторон в точках<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁. Внутри треугольника<i>ABC</i>взята точка<i>X</i>. Прямая<i>AX</i>пересекает дугу<i>B</i>₁<i>C</i>₁вписанной окружности в точке<i>A</i>₂; точки<i>B</i>₂и<i>C</i>₂определяются аналогично. Докажите, что прямые<i>A</i>₁<i>A</i>₂,<i>B</i>₁<i>B</i><sub>...

Через точки <i>A</i>и <i>D</i>, лежащие на окружности, проведены касательные, пересекающиеся в точке <i>S</i>. На дуге <i>AD</i>взяты точки <i>B</i>и <i>C</i>. Прямые <i>AC</i>и <i>BD</i>пересекаются в точке <i>P</i>, <i>AB</i>и <i>CD</i> — в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямая <i>PQ</i>проходит через точку <i>S</i>.

Из некоторой точки <i>P</i>опущены перпендикуляры <i>PA</i>₁и <i>PA</i>₂на сторону <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>и на высоту <i>AA</i>₃. Аналогично определяются точки <i>B</i>₁,<i>B</i>₂и <i>C</i>₁,<i>C</i>₂. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂,<i>B</i>₁<i>B</i>₂и <i>C</i>₁<i>C</i>₂пересекаются в одной...

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно параллельны. Докажите, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Касательные к описанной окружности треугольника<i>ABC</i>в точках<i>B</i>и<i>C</i>пересекаются в точке<i>P</i>. Точка<i>Q</i>симметрична точке<i>A</i>относительно середины отрезка<i>BC</i>. Докажите, что точки<i>P</i>и<i>Q</i>изогонально сопряжены.

Докажите, что при изогональном сопряжении окружность, проходящая через вершины<i>B</i>и<i>C</i>и отличная от описанной окружности, переходит в окружность, проходящую через вершины<i>B</i>и<i>C</i>.

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, причем прямые <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в одной точке <i>P</i>. Докажите, что прямые <i>AA</i>₂,<i>BB</i>₂и <i>CC</i>₂, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке <i>Q</i>.