Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многоугольники» - сложность 3 с решениями

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного <i>n</i>-угольника действительные числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного <i>k</i>-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного <i>n</i>-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

Правильный <i>n</i>-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что

а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна <i>n</i>²;

б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  <i>n</i> ctg ^π/_2<i>n</i>;

в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  <i>n</i>^<i>n</i>/2.

Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник?

Точка, лежащая внутри описанного <i>n</i>-угольника, соединена отрезками со всеми вершинами и точками касания. Образовавшиеся при этом треугольники попеременно окрашены в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей красных треугольников равно произведению площадей синих треугольников.

а) Правильный <i>n</i>-угольник <i>A</i>₁...<i>A_n</i> вписан в окружность радиуса 1 с центром <i>O</i>;  <i><b>e</b>_i</i> = <img width="34" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/57088/problem_57088_img_2.gif">,  <i><b>u</b></i> – произвольный вектор.

Докажите, что   <img width="21" height="31" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/57088/problem_57088_img_3.gif">(<i><b>u</b>, <b>e</b>_i</i>)<i><b>e</b&g...

Правильный <i>n</i>-угольник <i>A</i>₁...<i>A_n</i> вписан в окружность радиуса <i>R</i>;  <i>X</i> – точка этой окружности. Докажите, что  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/57087/problem_57087_img_2.gif">

Докажите, что сумма квадратов длин проекций сторон правильного <i>n</i>-угольника на любую прямую равна  ½ <i>na</i>²,  где <i>a</i> – сторона <i>n</i>-угольника.

Расстояние от точки <i>X</i> до центра правильного <i>n</i>-угольника равно <i>d</i>, <i>r</i> – радиус вписанной окружности <i>n</i>-угольника.

Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки <i>X</i> до прямых, содержащих стороны <i>n</i>-угольника, равна  <i>n</i>(<i>r</i>² + ½ <i>d</i>²).

Найдите сумму квадратов расстояний от вершин правильного <i>n</i>-угольника, вписанного в окружность радиуса <i>R</i>, до произвольной прямой, проходящей через центр многоугольника.

Правильный <i>n</i>-угольник <i>A</i>₁...<i>A</i>_<i>n</i> вписан в окружность радиуса <i>R</i> с центром <i>O,   <b>e</b>_i</i> = <img width="34" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/57083/problem_57083_img_2.gif">,  <i><b>x</b></i> = <img width="31" height="19" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/57083/problem_57083_img_3.gif">  – произвольный вектор.

Докажите, что   Σ (<i><b>e</b>_i, <b>x</b></i>)² =...

Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки <i>X</i> до вершин правильного <i>n</i>-угольника будет наименьшей, если <i>X</i> – центр <i>n</i>-угольника.

В правильном восемнадцатиугольнике <i>A</i>₀...<i>A</i>₁₇ проведены диагонали <i>A</i>₀<i>A</i>_<i>p</i>+3, <i>A</i>_<i>p</i>+1<i>A</i>_{18–<i>r</i>} и <i>A</i>₁<i>A</i>_{<i>p</i>+<i>q</i>+3}.

Докажите, что указанные диагонали пересекаются в одной точке в любом из следующих случаев:

  а)  {<i>p, q, r</i>} = {1, 3, 4},

  б)  {<i>p, q, r</i>} = {2, 2, 3}.

Правильный (4<i>k</i>+2)-угольник вписан в окружность радиуса <i>R</i> с центром <i>O</i>.

Докажите, что сумма длин отрезков, высекаемых углом   <i>A_kOA</i>_<i>k</i>+1 на прямых   <i>A</i>₁<i>A</i>_2<i>k</i>, <i>A</i>₂<i>A</i>_{2<i>k</i>–1}, ..., <i>A_kA</i>_<i>k</i>+1,  равна <i>R</i>.

На сторонах <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> квадрата <i>ABCD</i> построены внутренним образом правильные треугольники <i>ABK, BCL, CDM</i> и <i>DAN</i>. Докажите, что середины сторон этих треугольников (не являющихся сторонами квадрата) и середины отрезков <i>KL, LM, MN</i> и <i>NK</i> образуют правильный двенадцатиугольник.

Докажите, что в правильный пятиугольник можно так вписать квадрат, что его вершины будут лежать на четырёх сторонах пятиугольника.

Середины <i>M</i>и <i>N</i>диагоналей <i>AC</i>и <i>BD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>не совпадают. Прямая <i>MN</i>пересекает стороны <i>AB</i>и <i>CD</i>в точках <i>M</i>₁и <i>N</i>₁. Докажите, что если <i>MM</i>₁=<i>NN</i>₁, то <i>AD</i>|<i>BC</i>.

Два различных параллелограмма <i>ABCD</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁с соответственно параллельными сторонами вписаны в четырехугольник <i>PQRS</i>(точки <i>A</i>и <i>A</i>₁лежат на стороне <i>PQ</i>, <i>B</i>и <i>B</i>₁ — на <i>QR</i>и т. д.). Докажите, что диагонали четырехугольника параллельны сторонам параллелограммов.

Докажите, что биссектрисы углов выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник.

В треугольнике <i>ABC</i>проведены отрезки <i>PQ</i>и <i>RS</i>, параллельные стороне <i>AC</i>, и отрезок <i>BM</i>(рис.). Трапеции <i>RPKL</i>и <i>MLSC</i>описанные. Докажите, что трапеция <i>APQC</i>тоже описанная.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57016/problem_57016_img_2.gif" border="1"></div>

Углы при основании <i>AD</i>трапеции <i>ABCD</i>равны 2$\alpha$и 2$\beta$. Докажите, что трапеция описанная тогда и только тогда, когда <i>BC</i>/<i>AD</i>=<i>tg</i>$\alpha$<i>tg</i>$\beta$.

Четырехугольник <i>ABCD</i>описан около окружности с центром <i>O</i>. В треугольнике <i>AOB</i>проведены высоты <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁, а в треугольнике <i>COD</i> — высоты <i>CC</i>₁и <i>DD</i>₁. Докажите, что точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁и <i>D</i>₁лежат на одной прямой.

Пусть <i>О</i> – центр правильного многоугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃...<i>A_n</i>,  <i>X</i> – произвольная точка плоскости. Докажите, что:

   a)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/55373/problem_55373_img_2.gif">    б)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/55373/problem_55373_img_3.gif">

Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.