Олимпиадные задачи из источника «2016/2017» для 9-11 класса

В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна ^π/₂. Докажите, что  cos <i>a</i> + cos <i>b</i> + cos <i>c</i> > sin <i>a</i> + sin <i>b</i> + sin <i>c</i>.

На столе лежали две колоды, по 36 карт в каждой. Первую колоду перетасовали и положили на вторую. Затем для каждой карты первой колоды подсчитали количество карт между ней и такой же картой второй колоды (то есть сколько карт между семёрками червей, между дамами пик, и т.д.). Чему равна сумма 36 полученных чисел?

Трапеция с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> описана вокруг окружности, <i>E</i> – точка пересечения её диагоналей. Докажите, что угол <i>AED</i> не может быть острым.

Прямой круговой конус с радиусом основания <i>R</i> и высотой  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66011/problem_66011_img_2.gif">   положили боком на плоскость и покатили так, что его вершина осталась неподвижна. Сколько оборотов сделает его основание до момента, когда конус вернется в исходное положение?

Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что  3^<i>n</i> + 2·17^<i>n</i>  является квадратом некоторого натурального числа?

Решите уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>f</i>(<i>x</i>),  если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66009/problem_66009_img_2.gif">

Назовём натуральное число убывающим, если каждая цифра в его десятичной записи, кроме первой, меньше или равна предыдущей. Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что число 16^<i>n</i> – убывающее?

В треугольнике <i>АВС</i> проведены медиана <i>АМ</i>, биссектриса <i>AL</i> и высота <i>AH</i>.

Найдите радиус описанной окружности Ω треугольника <i>АВС</i>, если  <i>AL = t,  AH = h</i>  и <i>L</i> – середина отрезка <i>MH</i>.

Дан многочлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁴ + <i>ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx</i>.  Известно, что каждое из уравнений  <i>f</i>(<i>x</i>) = 1  и  <i>f</i>(<i>x</i>) = 2  имеет четыре корня. Докажите, что если для корней первого уравнения выполняется равенство  <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ = <i>x</i>₃ + <i>x</i>₄,  то и для корней второго уравнения выполняется аналогичное равенство.

Жили-были двадцать шпионов. Каждый из них написал донос на десять своих коллег.

Докажите, что не менее, чем десять пар шпионов донесли друг на друга.

Дан куб <i>АBCDA'B'C'D'</i> c ребром 1. На его рёбрах <i>АВ, ВС, C'D'</i> и <i>D'A'</i> отмечены точки <i>K, L, M</i> и <i>N</i> соответственно так, что <i>KLMN</i> – квадрат.

Найдите его площадь.

Могут ли три различных числа вида  2^<i>n</i> + 1,  где <i>n</i> – натуральное, быть последовательными членами геометрической прогрессии?

Существует ли натуральное число, меньшее ста, которое можно представить в виде суммы двух квадратов различных натуральных чисел двумя различными способами?

В остроугольном треугольнике <i>АBC</i> через центр <i>I</i> вписанной окружности и вершину <i>А</i> провели прямую, пересекающую описанную окружность в точке <i>P</i>. Найдите <i>IP</i>, если  ∠<i>А</i> = α,  а радиус описанной окружности равен <i>R</i>.

Решите в целых числах неравенство:  <i>x</i>² < 3 – 2cos π<i>x</i>.

Какие значения может принимать наибольший общий делитель натуральных чисел <i>m</i> и <i>n</i>, если известно, что при увеличении числа <i>m</i> на 6 он увеличивается в 9 раз?

Две окружности пересекаются в точках <i>А</i> и <i>В</i>. Через точку <i>В</i> проведена прямая, пересекающая окружности в точках <i>М</i> и <i>N</i> так, что <i>АВ</i> – биссектриса треугольника <i>МАN</i>. Докажите, что отношение отрезков <i>ВМ</i> и <i>BN</i> равно отношению радиусов окружностей.

Решите уравнение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65994/problem_65994_img_2.gif">

В правильном 21-угольнике шесть вершин покрашены в красный цвет, а семь вершин – в синий.

Обязательно ли найдутся два равных треугольника, один из которых с красными вершинами, а другой – с синими?

Сто положительных чисел записаны по кругу. Квадрат каждого числа равен сумме двух чисел, стоящих за этим числом по часовой стрелке.

Какие числа могут быть записаны?

Кодовый замок откроется, если в клетках квадрата размером 4×4 набрать числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 2×2 была кратна 17. Можно ли открыть такой замок?

Все грани треугольной пирамиды <i>SABC</i> – остроугольные треугольники. <i>SX</i> и <i>SY</i> – высоты граней <i>ASВ</i> и <i>BSС</i>. Известно, что четырёхугольник <i>AXYC</i> – вписанный. Докажите, что прямые <i>AC</i> и <i>BS</i> перпендикулярны.

Пусть <i>a, b, c, d</i> – действительные числа, удовлетворяющие системе

  ^<i>a</i>/<i>_b + ^b</i>/<i>_c + ^c</i>/<i>_d + ^d</i>/_<i>a</i> = 6,

  ^<i>a</i>/<i>_c + ^b</i>/<i>_d + ^c</i>/<i>_a + ^d</i>/_<i>b</i> = 8.

Какие значения может принимать выражение ^<i>a</i>/<i>...

Число 1047 при делении на <i>A</i> дает остаток 23, а при делении на  <i>A</i> + 1  – остаток 7. Найдите A.