Олимпиадные задачи из источника «24 турнир (2002/2003 год)» для 11 класса

В окружность вписан прямоугольный треугольник <i>ABC</i> с гипотенузой <i>AB</i>. Пусть <i>K</i> – середина дуги <i>BC</i>, не содержащей точку <i>A, N</i> – середина отрезка <i>AC, M</i> – точка пересечения луча <i>KN</i> с окружностью. В точках <i>A</i> и <i>C</i> проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке <i>E</i>. Докажите, что

∠<i>EMK</i> = 90°.

Внутри квадрата отметили несколько точек и соединили их отрезками между собой и с вершинами квадрата так, чтобы отрезки не пересекались друг с другом (нигде кроме концов). В результате квадрат разделился на треугольники, так что все отмеченные точки оказались в вершинах треугольников, и ни одна не попала на стороны треугольников. Для каждой отмеченной точки и для каждой вершины квадрата подсчитали число проведённых из неё отрезков. Могло ли так случиться, что все эти числа оказались чётными?

В каждой клетке таблицы размером 4×4 стоит знак "+" или "–". Разрешено одновременно менять знаки на противоположные в любой клетке и во всех клетках, имеющих с ней общую сторону. Сколько разных таблиц можно получить, многократно применяя такие операции?

Можно ли поверхность куба оклеить без пропусков и наложений тремя треугольниками?

Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с действительными коэффициентами. Бесконечная последовательность различных натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ... такова, что

<i>P</i>(<i>a</i>₁) = 0,  <i>P</i>(<i>a</i>₂) = <i>a</i>₁,  <i>P</i>(<i>a</i>₃) = <i>a</i>₂,  и т.д. Какую степень может иметь <i>P</i>(<i>x</i>)?

Дана треугольная пирамида <i>ABCD</i>. В ней <i>R</i> – радиус описанной сферы, <i>r</i> – радиус вписанной сферы, <i>a</i> – длина наибольшего ребра, <i>h</i> – длина наименьшей высоты (на какую-то грань). Докажите, что  ^<i>R</i>/<i>_r > ^a</i>/_<i>h</i>.

Дан картонный прямоугольник со сторонами <i>a</i> см и <i>b</i> см, где  ^<i>b</i>/₂ < <i>a < b</i>.

Докажите, что его можно разрезать на три куска, из которых складывается квадрат.

Сто номерков выложили в ряд в порядке возрастания: 00, 01, 02, 03, ..., 99. Затем номерки переставили так, что каждый следующий номерок стал получаться из предыдущего увеличением или уменьшением ровно одной из цифр на 1 (например, после 29 может идти 19, 39 или 28, а 30 или 20 – не может). Какое наибольшее число номерков могло остаться на своих местах?

В треугольнике <i>ABC</i> взяли точку <i>M</i> так, что что радиусы описанных окружностей треугольников <i>AMC, BMC</i> и <i>BMA</i> не меньше радиуса описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что все четыре радиуса равны.

Имеется 100 палочек, из которых можно сложить 100-угольник.

Может ли случиться, что ни из какого меньшего числа этих палочек нельзя сложить многоугольник?

2003 доллара разложили по кошелькам, а кошельки разложили по карманам. Известно, что всего кошельков больше, чем долларов в любом кармане. Верно ли, что карманов больше, чем долларов в каком-нибудь кошельке? (Класть кошельки один в другой не разрешается.)

а) Электрическая схема имеет вид решётки 3×3: всего в схеме 16 узлов (вершины квадратиков решётки), которые соединены проводами (стороны квадратиков решётки). Возможно, часть проводов перегорела. За одно измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить, проходит ли между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка неперегоревших проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема такова, что ток проходит от любого узла к любому. За какое наименьшее число измерений всегда можно в этом удостовериться? б) Тот же вопрос для решётки 7×7 (всего 64 узла).

Рассмотрим последовательность, первые два члена которой равны 1 и 2 соответственно, а каждый следующий член – это наименьшее натуральное число, которое еще не встретилось в последовательности и которое не взаимно просто с предыдущим членом последовательности. Докажите, что каждое натуральное число входит в эту последовательность.

Окружности Ω₁ и Ω₂ пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Через точку <i>B</i> проведена прямая, вторично пересекающая Ω₁ и Ω₂ в точках <i>K</i> и <i>M</i> соответственно. Прямая <i>l</i>₁ касается Ω₁ в точке <i>Q</i> и параллельна прямой <i>AM</i>. <i>R</i> – вторая точка пересечения прямой <i>QA</i> с Ω₂. Докажите, что

  а) касательная <i>l</i>₂, проведённая к Ω₂ в точке <i>R</i>, параллельна <i>AK</i>.;

  б) прямые <i...

Некоторый куб рассекли плоскостью так, что в сечении получился пятиугольник.

Докажите, что длина одной из сторон этого пятиугольника отличается от 1 метра по крайней мере на 20 сантиметров.

Имеется много карточек, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до <i>n</i>. Известно, что сумма чисел на всех карточках равна <i>n</i>!·<i>k</i>, где <i>k</i> – целое число. Докажите, что карточки можно разложить на <i>k</i> групп так, чтобы в каждой группе сумма чисел, записанных на карточках, равнялась <i>n</i>!.

Выпуклый <i>N</i>-угольник разбит диагоналями на треугольники (при этом диагонали не пересекаются внутри многоугольника). Треугольники раскрашены в чёрный и белый цвета так, что каждые два треугольника с общей стороной раскрашены в разные цвета. Для каждого <i>N</i> найдите максимум разности количества белых и количества чёрных треугольников.

Все виды растений России были занумерованы подряд числами от 2 до 20000 (числа идут без пропусков и повторений). Для каждой пары видов растений запомнили наибольший общий делитель их номеров, а сами номера были забыты (в результате сбоя компьютера). Можно ли для каждого вида растений восстановить его номер?

В бесконечной последовательности натуральных чисел каждое следующее число получается прибавлением к предыдущему одной из его ненулевых цифр.

Докажите, что в этой последовательности найдётся чётное число.

Пусть <i>x, y, z</i> – любые числа из интервала  (0, ^π/₂).  Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98588/problem_98588_img_2.gif">

Несколько прямых, никакие две из которых не параллельны, разрезают плоскость на части. Внутри одной из этих частей отметили точку <i>A</i>.

Докажите, что точка, лежащая с <i>A</i> по разные стороны от всех данных прямых, существует тогда и только тогда, когда часть, содержащая <i>A</i>, неограничена.

а) В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере &frac23; задач этой контрольной оказались <i>трудными</i>: каждую такую задачу не решили по крайней мере &frac23; школьников. Известно также, что по крайней мере &frac23; школьников класса написали контрольную <i>хорошо</i>: каждый такой школьник решил по крайней мере &frac23; задач контрольной. Могло ли такое быть? Изменится ли ответ, если везде в условии заменить &frac23; на   б) ¾;   в) ⁷/₁₀?

Саша и Маша загадали по натуральному числу и сообщили их Васе. Вася написал на одном листе бумаги сумму загаданных чисел, а на другом – их произведение, после чего один из листов спрятал, а другой (на нём оказалось написано число 2002) показал Саше и Маше. Увидев это число, Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав это, Маша сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?