Олимпиадные задачи из источника «25 турнир (2003/2004 год)» для 10 класса

Дан треугольник <i>ABC</i>. В нём <i>H</i> – точка пересечения высот, <i>I</i> – центр вписанной окружности, <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>K</i> – точка касания вписанной окружности со стороной <i>BC</i>. Известно, что отрезки  <i>IO || BC</i>.  Докажите, что отрезки  <i>AO || HK</i>.

На сторонах единичного квадрата как на гипотенузах построены во внешнюю сторону прямоугольные треугольники. Пусть <i>A, B, C</i> и <i>D</i> – вершины их прямых углов, а <i>O</i>₁, <i>O</i>₂, <i>O</i>₃ и <i>O</i>₄ – центры вписанных окружностей этих треугольников. Докажите, что

  а) площадь четырёхугольника <i>ABCD</i> не превосходит 2;

  б) площадь четырёхугольника <i>O</i>₁<i>O</i>₂<i>O</i>₃<i>O</i>₄ не превосходит 1.

Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел, а её сумма – степень двойки.

Докажите, что количество членов прогрессии тоже степень двойки.

Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника – лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины <i>A</i> с (внутренним) углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину <i>A</i>.

На плоскости даны парабола  <i>y = x</i>²  и окружность, имеющие ровно две общие точки: <i>A</i> и <i>B</i>. Оказалось, что касательные к окружности и параболе в точке <i>A</i> совпадают. Обязательно ли тогда касательные к окружности и параболе в точке <i>B</i> также совпадают?

Прямоугольная проекция треугольной пирамиды на некоторую плоскость имеет максимально возможную площадь.

Докажите, что эта плоскость параллельна либо одной из граней, либо двум скрещивающимся ребрам пирамиды.

Имеется бильярдный стол в виде многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого все углы составляют целое число градусов, а угол <i>A</i> – в точности 1°. В вершинах находятся точечные лузы, попав в которые шар проваливается. Из вершины <i>A</i> вылетает точечный шар и движется внутри многоугольника, отражаясь от сторон по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину <i>A</i>.

Первоначально на доске написано число 2004!. Два игрока ходят по очереди. Игрок в свой ход вычитает из написанного числа какое-нибудь натуральное число, которое делится не более чем на 20 различных простых чисел (так, чтобы разность была неотрицательна), записывает на доске эту разность, а старое число стирает. Выигрывает тот, кто получит 0. Кто из играющих – начинающий или его соперник – может гарантировать себе победу, и как ему следует играть?

Известно, что среди членов некоторой арифметической прогрессии <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, <i>a</i>₄, ... есть числа  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65407/problem_65407_img_2.gif">

Докажите,что эта прогрессия состоит из целых чисел.

Периметр выпуклого четырёхугольника равен 2004, одна из диагоналей равна 1001. Может ли вторая диагональ быть равна  а) 1;  б) 2;  в) 1001?

Звенья <i>AB, BC</i> и <i>CD</i> ломаной <i>ABCD</i> равны по длине и касаются некоторой окружности.

Доказать, что точка <i>K</i> касания этой окружности со звеном <i>BC</i>, её центр <i>O</i> и точка пересечения прямых <i>AC</i> и <i>BD</i> лежат на одной прямой.

Два десятизначных числа назовем <i>соседними</i>, если они различаются только одной цифрой в каком-то из разрядов (например, 1234567890 и 1234507890 соседние). Какое наибольшее количество десятизначных чисел можно выписать так, чтобы среди них не было соседних?

К натуральному числу  <i>a</i> > 1  приписали это же число и получили число <i>b</i>, кратное <i>a</i>². Найдите все возможные значения числа  ^<i>b</i>/_<i>a</i>².

а) В таблице <i>m</i>×<i>n</i> расставлены знаки "+" и "–". За один ход разрешается поменять знаки на противоположные в любой строке или столбце. Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 2×2, который тоже не приводится.б) В таблице <i>m</i>×<i>n</i> расставлены знаки "+" и "–". За один ход разрешается поменять знаки на противоположные в любой строке или столбце или на любой диагонали (угловые клетки тоже считаются диагоналями). Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 4×4, который тоже не приводится.

У тетраэдра <i>ABCD</i> сумма площадей двух граней (с общим ребром <i>AB</i>) равна сумме площадей оставшихся граней (с общим ребром <i>CD</i>). Докажите, что середины рёбер <i>BC, AD, AC</i> и <i>BD</i> лежат в одной плоскости, причём эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр <i>ABCD</i>.

Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде  3^<i>u</i>₁2^<i>v</i>₁ + 3^<i>u</i>₂2^<i>v</i>₂ + ... + 3^<i>u_k</i>2^<i>v_k</i>,  где  <i>u</i>₁ > <i>u</i>₂ > ... > <i>u_k</i> ≥ 0  и  0 ≤ <i>v</i>₁ < <i>v</i>₂ < ... < <i>v<sub>k</sub&g...

Играют двое. У первого 1000 чётных карточек (2, 4, ..., 2000), у второго – 1001 нечётная (1, 3, ... , 2001). Ходят по очереди, начинает первый. Ход состоит в следующем: игрок, чья очередь ходить, выкладывает одну из своих карточек, а другой, посмотрев на неё, выкладывает одну из своих карточек; тот, у кого число на карточке больше, записывает себе одно очко, а обе выложенные карточки выбрасываются. Всего получается 1000 ходов (одна карточка второго не используется). Какое наибольшее число очков может гарантировать себе каждый из игроков (как бы ни играл его соперник)?

Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по поверхности (но не внутри) которой ползает муравей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между двумя точками считаем длину соединяющего их кратчайшего пути <i>по поверхности параллелепипеда</i>.)

Имеется несколько юношей, каждый из которых знаком с некоторыми девушками. Две свахи знают, кто с кем знаком. Одна сваха заявляет: "Я могу одновременно поженить всех брюнетов так, чтобы каждый из них женился на знакомой ему девушке!" Вторая сваха говорит: "А я могу устроить судьбу всех блондинок: каждая выйдет замуж за знакомого юношу!" Этот диалог услышал любитель математики, который сказал: "В таком случае можно сделать и то, и другое!" Прав ли он?

Бумажный тетраэдр разрезали по трём ребрам, не принадлежащим одной грани. Могло ли случиться, что полученную развёртку нельзя расположить на плоскости без самопересечений (в один слой).

У продавца и покупателя в сумме 1999 рублей монетами и купюрами в 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 рублей. Кот в мешке стоит целое число рублей, причём денег у покупателя достаточно. Докажите, что покупатель сможет купить кота, получив причитающуюся сдачу.

Какое наименьшее количество квадратиков 1×1 надо нарисовать, чтобы получилось изображение квадрата 25×25, разделённого на 625 квадратиков 1×1?

У каждого целого числа от  <i>n</i> + 1  до 2<i>n</i> включительно (<i>n</i> – натуральное) возьмём наибольший нечётный делитель и сложим все эти делители.

Докажите, что получится <i>n</i>².

Перед экстрасенсом кладут колоду из 36 карт рубашкой вверх. Он называет масть верхней карты, после чего карту открывают, показывают ему и откладывают в сторону. После этого экстрасенс называют масть следующей карты и т. д. Задача экстрасенса – угадать масть как можно большее число раз. На деле рубашки карт несимметричны, и экстрасенс видит, в каком из двух положений лежит верхняя карта. Колода подготовлена подкупленным служащим. Служащий знает порядок карт в колоде, и хотя изменить его не может, зато может подсказать, располагая рубашки карт так или иначе согласно договоренности. Может ли экстрасенс с помощью такой подсказки гарантированно обеспечить угадывание масти

  а) более чем у половины карт;

  б) не менее чем у 20 карт?