Олимпиадные задачи из источника «29 турнир (2007/2008 год)» для 8 класса - сложность 2 с решениями
29 турнир (2007/2008 год)
НазадСередина одной из сторон треугольника и основания высот, опущенных на две другие стороны, образуют равносторонний треугольник.
Верно ли, что исходный треугольник тоже равносторонний?
Фокусник с завязанными глазами выдаёт зрителю пять карточек с номерами от 1 до 5. Зритель прячет две карточки, а три отдаёт ассистенту фокусника. Ассистент указывает зрителю на две из них, и зритель называет номера этих карточек фокуснику (в том порядке, в каком захочет). После этого фокусник угадывает номера карточек, спрятанных у зрителя. Как фокуснику и ассистенту договориться, чтобы фокус всегда удавался?
В таблицу 29×29 вписали числа 1, 2, 3, ..., 29, каждое по 29 раз. Оказалось, что сумма чисел над главной диагональю в три раза больше суммы чисел под этой диагональю. Найдите число, вписанное в центральную клетку таблицы.
На бумажке записаны 1 и некоторое нецелое число <i>x</i>. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке
число <i>x</i>²?
Какое наибольшее число белых и чёрных фишек можно расставить на шахматной доске так, чтобы на каждой горизонтали и на каждой вертикали белых фишек было ровно в два раза больше, чем чёрных?
На сторонах <i>АВ</i> и <i>ВС</i> треугольника <i>АВС</i> выбраны точки <i>К</i> и <i>М</i> соответственно так, что <i>КМ || АС</i>. Отрезки <i>АМ</i> и <i>КС</i> пересекаются в точке <i>О</i>. Известно, что <i>АК = АО</i> и <i>КМ = МС</i>. Докажите, что <i>АМ = КВ</i>.
Число <i>N</i> является произведением двух последовательных натуральных чисел. Докажите, что
а) можно приписать к этому числу справа две цифры так, чтобы получился точный квадрат;
б) если <i>N</i> > 12, это можно сделать единственным способом.
Клетки доски 10·10 раскрашены в красный, синий и белый цвета. Каждые две клетки с общей стороной раскрашены в разные цвета. Известно, что красных клеток 20. а) Докажите, что всегда можно вырезать 30 прямоугольников, каждый из которых состоит из двух клеток – белой и синей. б) Приведите пример раскраски, когда можно вырезать 40 таких прямоугольников. в) Приведите пример раскраски, когда нельзя вырезать больше 30 таких прямоугольников.
Есть тридцать карточек, на каждой написано по числу: на десяти карточках – <i>a</i>, на десяти других – <i>b</i>, и на десяти оставшихся – <i>c</i> (числа <i>a, b, c</i> все разные). Известно, что к любым пяти карточкам можно подобрать еще пять так, что сумма чисел на этих десяти карточках будет равна нулю. Докажите, что одно из чисел <i>a, b, c</i> равно нулю.
На плоскости нарисовали 10 равных отрезков и отметили все их точки пересечения. Оказалось, что каждая точка пересечения делит любой проходящий через неё отрезок в отношении 3 : 4. Каково наибольшее возможное число отмеченных точек?
В выпуклом шестиугольнике <i>ABCDEF</i> противоположные стороны попарно параллельны (<i>AB || DE, BC || EF, CD || FA</i>), а также <i>AB = DE</i>.
Докажите, что <i>BC = EF</i> и <i>CD = FA</i>.
На стороне <i>CD</i> ромба <i>ABCD</i> нашлась такая точка <i>K</i>, что <i>AD = BK</i>. Пусть <i>F</i> – точка пересечения диагонали <i>BD</i> и серединного перпендикуляра к стороне <i>BC</i>. Докажите, что точки <i>A, F</i> и <i>K</i> лежат на одной прямой.