Олимпиадные задачи из источника «9 турнир (1987/1988 год)» для 1-9 класса - сложность 2 с решениями

При каком отношении оснований трапеции существует прямая, на которой шесть точек пересечения с диагоналями, боковыми сторонами и продолжениями оснований трапеции высекают пять равных отрезков?

Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины противоположных сторон <i>BC</i> и <i>AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i>. Диагональ <i>AC</i> проходит через середину отрезка <i>MN</i>. Докажите, что треугольники <i>ABC</i> и <i>ACD</i> равновелики.

Из вершины <i>A</i> квадрата <i>ABCD</i> со стороной 1 проведены два луча, пересекающие квадрат так, что вершина <i>C</i> лежит между лучами. Угол между лучами равен β. Из вершин <i>B</i> и <i>D</i> проведены перпендикуляры к лучам. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров.

Дана выпуклая фигура, ограниченная дугой <i>A</i> окружности и ломаной <i>ABC</i> так, что дуга и ломаная лежат по разные стороны от хорды <i>AC</i>.

Через середину дуги <i>AC</i> проведите прямую, делящую площадь фигуры пополам.

Куб 20×20×20 составлен из 2000 кирпичей размером 2×2×1.

Докажите, что его можно проткнуть иглой так, чтобы игла прошла через две противоположные грани и не уткнулась в кирпич.

Имеется множество билетов с номерами от 1 до 30 (номера могут повторяться). Каждый из учеников вытянул один билет. Учитель может произвести следующую операцию: прочитать список из нескольких (возможно – одного) номеров и попросить их владельцев поднять руки. Сколько раз он должен проделать такую операцию, чтобы узнать номер каждого ученика? (Учеников не обязательно 30.)

Решите систему уравнений:

   (<i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ + <i>x</i>₅)⁵ = 3<i>x</i>₁,

   (<i>x</i>₄ + <i>x</i>₅ + <i>x</i>₁)⁵ = 3<i>x</i>₂,

   (<i>x</i>₅ + <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂)⁵ = 3<i>x</i>₃,

   (<i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i&g...

<i>a, b</i> и <i>c</i> – целые числа. Докажите, что если  <i>a = b + c</i>,  то  <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴  есть удвоенный квадрат целого числа.

Среди десятизначных чисел каких больше: тех, которые можно представить как произведение двух пятизначных чисел, или тех, которые нельзя так представить?

Можно ли подобрать такие два натуральных числа <i>X</i> и <i>Y</i>, что <i>Y</i> получается из <i>X</i> перестановкой цифр, и  <i>X + Y</i> = 9...9  (1111 девяток)?

  а) Вершины правильного 10-угольника закрашены чёрной и белой краской через одну. Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит отрезок, соединяющий вершины одинакового цвета. Эти отрезки не должны иметь общих точек (даже концов) с проведенными ранее. Побеждает тот, кто сделал последний ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий игру или его партнер?

  б) Тот же вопрос для 12-угольника.

Коля и Вася за январь получили по 20 оценок, причём Коля получил пятерок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, троек столько же, сколько Вася двоек, и двоек столько же, сколько Вася – пятёрок. При этом средний балл за январь у них одинаковый. Сколько двоек за январь получил Коля?

Правильный треугольник разбит прямыми, параллельными его сторонам, на равные между собой правильные треугольники. Один из маленьких треугольников чёрный, остальные – белые. Разрешается перекрашивать одновременно все треугольники, пересекаемые прямой, параллельной любой стороне исходного треугольника. Всегда ли можно с помощью нескольких таких перекрашиваний добиться того, чтобы все маленькие треугольники стали белыми?

Рассматриваются всевозможные пары  (<i>a, b</i>)  натуральных чисел, где  <i>a < b</i>.  Некоторые пары объявляются чёрными, остальные – белыми.

Можно ли это сделать так, чтобы для любых натуральных <i>a</i> и <i>d</i> среди пар  (<i>a, a + d</i>),  (<i>a, a</i> + 2<i>d</i>),  (<i>a + d, a</i> + 2<i>d</i>)  встречались и чёрные, и белые?

Доказать, что существует бесконечно много таких пар  (<i>a, b</i>)  натуральных чисел, что  <i>a</i>² + 1  делится на <i>b</i>, а  <i>b</i>² + 1  делится на <i>a</i>.

В центре квадратного бассейна находится мальчик, а в вершине на берегу стоит учительница. Максимальная скорость мальчика в воде в три раза меньше максимальной скорости учительницы на суше. Учительница плавать не умеет, а на берегу мальчик бегает быстрее учительницы. Сможет ли мальчик убежать?

Даны три неотрицательных числа <i>a, b, c</i>. Про них известно, что   <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴ ≤ 2(<i>a</i>²<i>b</i>² + <i>b</i>²<i>c</i>² + <i>c</i>²<i>a</i>²).

  а) Докажите, что каждое из них не больше суммы двух других.

  б) Докажите, что   <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² ≤ 2(<i>ab + bc + ca</i>).

  в) Следует ли из неравенства пункта б) исходное неравенство?

Двое играющих по очереди увеличивают натуральное число так, чтобы при каждом увеличении разность между новым и старым значениями числа была бы больше нуля, но меньше старого значения. Начальное значение числа равно 2. Выигравшим считается тот, в результате хода которого получится 1987. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?

Докажите, что предпоследняя цифра любой степени числа 3 чётна.

Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.

Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

Найдите геометрическое место точек <i>M</i>, лежащих внутри ромба <i>ABCD</i> и обладающих тем свойством, что  ∠<i>AMD</i> + ∠<i>BMC</i> = 180°.