Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Размещения, перестановки и сочетания» для 10 класса - сложность 2-5 с решениями

У игрока в преферанс оказалось 4 козыря, а еще 4 находятся на руках у двух его противников. Какова вероятность того, что козыри лягут а) 2 : 2; б) 3 : 1; в) 4 : 0?

Пишется наудачу некоторое двузначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа равна 5?

Найдите суммы рядов   а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60427/problem_60427_img_2.gif">

  б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60427/problem_60427_img_3.gif">

  в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60427/problem_60427_img_4.gif">  (<i>r</i> ≥ 2).

Найдите сумму (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160424">160424</a> про треугольник Лейбница):

  ¹/₁₂ + ¹/₃₀ + ¹/₆₀ + ¹/₁₀₅ + ...

и обобщите полученный результат.

Докажите равенства (см. <i>треугольник Лейбница</i>, задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160424">160424</a>):   а) 1 = ¹/₂ + ¹/₆ + ¹/₁₂ + ¹/₂₀ + ¹/₃₀ + ... ;   б) ¹/₂ = ¹/₃ + ¹/₁₂ + ¹/₃₀ + ¹/₆₀ + ¹/₁₀₅ + ... ;   в) ¹/<sub>3&...

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/60424/problem_60424_img_2.gif"></div>Здесь изображен фрагмент таблицы, которая называется<i>треугольником Лейбница</i>. Его свойства "аналогичны в смысле противоположности" свойствам треугольника Паскаля. Числа на границе треугольника обратны последовательным натуральным числам. Каждое число внутри равно сумме двух чисел, стоящих под ним. Найдите формулу, которая связывает числа из треугольников Паскаля и Лейбница.

Какое слагаемое в разложении  (1 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60420/problem_60420_img_2.gif">)¹⁰⁰  по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?

Найдите <i>m</i> и <i>n</i> зная, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60419/problem_60419_img_2.gif">

В компании из 10 человек произошло 14 попарных ссор. Докажите, что все равно можно составить компанию из трёх друзей.

Покажите, что любое натуральное число <i>n</i> может быть представлено в виде   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60417/problem_60417_img_2.gif">   где <i>x, y, z</i> – такие целые числа, что  0 ≤ <i>x < y < z</i>,  либо  0 = <i>x = y < z</i>.

В разложении  (<i>x + y</i>)^<i>n</i>  по формуле бинома Ньютона второй член оказался равен 240, третий – 720, а четвёртый – 1080. Найдите <i>x, y</i> и <i>n</i>.

120 одинаковых шаров плотно уложены в виде правильной треугольной пирамиды. Сколько шаров лежит в основании?

Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60414/problem_60414_img_2.gif">

Докажите тождества:   а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_2.gif">   б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_3.gif">   в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_4.gif">   г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_5.gif">   д)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_6.gif">(Попробуйте доказать эти тождества тремя разными способами: пользуясь тем, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_7.gif">   – это количест...

Вычислите суммы:   a)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_3.gif">   в)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_4.gif">

При каких значениях <i>n</i> все коэффициенты в разложении бинома Ньютона  (<i>a + b</i>)^<i>n</i>  нечётны?

Придумайте какой-нибудь способ достроить треугольник Паскаля вверх.

Сколькими способами можно составить букет из 17 цветков, если в продаже имеются гвоздики, розы, гладиолусы, ирисы, тюльпаны и васильки?

Сколько решений имеет уравнение  <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ = 1000

  а) в натуральных;   б) в целых неотрицательных числах?

Имеется<i>m</i>белых и<i>n</i>чёрных шаров, причём  <i>m > n</i>. Сколькими способами можно все шары разложить в ряд так, чтобы никакие два чёрных шара не лежали рядом?

Докажите, что в равенстве   (<i>x</i>₁ + ... + <i>x_m</i>)^<i>n</i>  = <img align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60400/problem_60400_img_2.gif">   коэффициенты  <i>C</i>(<i>k</i>₁,..., <i>k_m</i>)  могут быть найдены по формуле   <img align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60400/problem_60400_img_3.gif">

Параллелограмм пересекается двумя рядами прямых, параллельных его сторонам; каждый ряд состоит из <i>m</i> прямых.

Сколько параллелограммов можно выделить в образовавшейся сетке?

Имеется куб размером 10×10×10, состоящий из маленьких единичных кубиков. В центре О одного из угловых кубиков сидит кузнечик. Он может прыгать в центр кубика, имеющего общую грань с тем, в котором кузнечик находится в данный момент, причем так, чтобы расстояние до точки <i>О</i> увеличивалось. Сколькими способами кузнечик может допрыгать до кубика, противоположного исходному?

Рассмотрим прямоугольную сетку размерами <i>m</i>×<i>n</i> – шахматный город, состоящий из "кварталов", разделённых  <i>n</i> – 1  горизонтальными и  <i>m</i> – 1  вертикальными "улицами". Каково число различных кратчайших путей на этой сетке, ведущих из левого нижнего угла ("точка"  (0, 0))  в правый верхний ("точку"  (<i>m, n</i>))?

Докажите, что для любого натурального <i>a</i> найдётся такое натуральное <i>n</i>, что все числа  <i>n</i> + 1,  <i>nⁿ</i> + 1,  <i>n^nⁿ</i> + 1,  ...  делятся на <i>a</i>.