Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Площадь» - сложность 2 с решениями

Точка <i>O</i>, лежащая внутри правильного шестиугольника, соединена с вершинами. Возникшие при этом шесть треугольников раскрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих.

Пусть <i>K, L, M, N</i> – середины сторон <i>AB, BC, CD, AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i>; отрезки <i>KM</i> и <i>LN</i> пересекаются в точке <i>O</i>.

Докажите, что   <i>S_AKON + S_CLOM = S_BKOL + S_DNOM</i>.

Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению длин наибольшей и наименьшей его диагоналей.

Даны (2<i>n</i>- 1)-угольник <i>A</i>₁...<i>A</i>_{2n - 1}и точка <i>O</i>. Прямые <i>A</i>_k<i>O</i>и <i>A</i>_{n + k - 1}<i>A</i>_{n + k}пересекаются в точке <i>B</i>_k. Докажите, что произведение отношений <i>A</i>_{n + k - 1}<i>B</i>_k/<i>A</i>_{n + k}<i>B</i>_k(<i>k</i>= 1,...,<i>n</i>) равно 1.

Внутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>O</i>; прямые <i>AO</i>,<i>BO</i>и <i>CO</i>пересекают его стороны в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что: а) ${\frac{OA_1}{AA_1}}$+${\frac{OB_1}{BB_1}}$+${\frac{OC_1}{CC_1}}$= 1; б) ${\frac{AC_1}{C_1B}}$^.${\frac{BA_1}{A_1C}}$^.${\frac{CB_1}{B_1A}}$= 1.

Докажите, что длина биссектрисы <i>AD</i>треугольника <i>ABC</i>равна ${\frac{2bc}{b+c}}$cos${\frac{\alpha }{2}}$.

Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой произвольно внутри правильного треугольника, до его сторон постоянна (и равна высоте треугольника).

Диагонали четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>P</i>. Расстояния от точек <i>A</i>,<i>B</i>и <i>P</i>до прямой <i>CD</i>равны <i>a</i>,<i>b</i>и <i>p</i>. Докажите, что площадь четырехугольника <i>ABCD</i>равна <i>ab</i>^.<i>CD</i>/2<i>p</i>.

На сторонах <i>AB</i>и <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>внешним образом построены параллелограммы; <i>P</i> — точка пересечения продолжений их сторон, параллельных <i>AB</i>и <i>BC</i>. На стороне <i>AC</i>построен параллелограмм, вторая сторона которого равна и параллельна <i>BP</i>. Докажите, что его площадь равна сумме площадей первых двух параллелограммов.

Даны параллелограмм <i>ABCD</i>и некоторая точка <i>M</i>. Докажите, что <i>S</i>_ACM= |<i>S</i>_ABM±<i>S</i>_ADM|.

Точки <i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>параллелограмма <i>ABCD</i>, причем отрезки <i>KM</i>и <i>LN</i>параллельны сторонам параллелограмма. Эти отрезки пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что площади параллелограммов <i>KBLO</i>и <i>MDNO</i>равны тогда и только тогда, когда точка <i>O</i>лежит на диагонали <i>AC</i>.

а) Диагонали выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>P</i>. Известны площади треугольников<i>ABP</i>,<i>BCP</i>,<i>CDP</i>. Найдите площадь треугольника <i>ADP</i>. б) Выпуклый четырехугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Докажите, что произведение этих чисел представляет собой точный квадрат.

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника <i>ABCDE</i>отсекает от него треугольник единичной площади. Вычислите площадь пятиугольника <i>ABCDE</i>.

На продолжениях сторон треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁так, что $\overrightarrow{AB_1}$= 2$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BC_1}$= 2$\overrightarrow{BC}$и $\overrightarrow{CA_1}$= 2$\overrightarrow{AC}$. Найдите площадь треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, если известно, что площадь треугольника <i>ABC</i>равна <i>S</i>.

Внутри данного треугольника <i>ABC</i>найдите такую точку <i>O</i>, что площади треугольников <i>BOL</i>,<i>COM</i>и <i>AON</i>равны (точки <i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>, причем <i>OL</i>||<i>BC</i>,<i>OM</i>||<i>AC</i>и <i>ON</i>||<i>AB</i>; рис.).

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56753/problem_56753_img_2.gif" border="1"></div>

Дан треугольник <i>ABC</i>. Найдите все такие точки <i>P</i>, что площади треугольников <i>ABP</i>,<i>BCP</i>и <i>ACP</i>равны.

Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна 4. Найдите площадь трапеции, если известно, что одна из её диагоналей равна 5.