Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Построения» для 3-11 класса - сложность 4-5 с решениями

Даны отрезки <i>O</i>₁<i>A</i>₁и <i>O</i>₂<i>A</i>₂. С помощью одной двусторонней линейки постройте радикальную ось окружностей радиуса <i>O</i>₁<i>A</i>₁и <i>O</i>₂<i>A</i>₂с центрами <i>O</i>₁и <i>O</i>₂соответственно.

Даны прямая <i>l</i>и отрезок <i>OA</i>, параллельный <i>l</i>. С помощью одной двусторонней линейки постройте точки пересечения прямой <i>l</i>с окружностью радиуса <i>OA</i>с центром <i>O</i>.

Докажите, что если на плоскости даны какая-нибудь окружность <i>S</i>и ее центр <i>O</i>, то с помощью одной линейки можно: а) из любой точки провести прямую, параллельную данной прямой, и опустить на данную прямую перпендикуляр; б) на данной прямой от данной точки отложить отрезок, равный данному отрезку; в) построить отрезок длиной <i>ab</i>/<i>c</i>, где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — длины данных отрезков; г) построить точки пересечения данной прямой <i>l</i>с окружностью, центр которой — данная точка <i>A</i>, а радиус равен длине данного отрезка; д) построить точки пересечения двух окружностей, центры которых — данные точки, а радиусы — данные отрезки.

Даны окружность, ее диаметр <i>AB</i>и точка <i>P</i>. С помощью одной линейки проведите через точку <i>P</i>перпендикуляр к прямой <i>AB</i>.

Даны две параллельные прямые и точка <i>P</i>. С помощью одной линейки проведите через точку <i>P</i>прямую, параллельную данным прямым.

Даны две параллельные прямые. С помощью одной линейки разделите отрезок, лежащий на одной из них, на <i>n</i>равных частей.

Даны две параллельные прямые. С помощью одной линейки разделите пополам отрезок, лежащий на одной из данных прямых.

На окружности радиуса <i>a</i>дана точка. С помощью монеты радиуса<i>a</i>постройте точку, диаметрально противоположную данной.

Даны точки <i>A</i>и <i>B</i>, расстояние между которыми больше 1 м. С помощью одной лишь линейки, длина которой равна 10 см, постройте отрезок <i>AB</i>. (Линейкой можно только проводить прямые линии.)

С помощью двусторонней линейки постройте центр данной окружности, диаметр которой больше ширины линейки.

На клочке бумаги нарисованы две прямые, образующие угол, вершина которого лежит вне этого клочка. С помощью циркуля и линейки проведите ту часть биссектрисы угла, которая лежит на клочке бумаги.

Даны диаметр <i>AB</i>окружности и точка <i>C</i>на нем. Постройте на этой окружности точки <i>X</i>и <i>Y</i>, симметричные относительно прямой <i>AB</i>, так, чтобы прямые <i>AX</i>и <i>YC</i>были перпендикулярными.

Постройте прямоугольник с данным отношением сторон, зная по одной точке на каждой из его сторон.

Точки <i>A</i>и <i>B</i>лежат на диаметре данной окружности. Проведите через них две равные хорды с общим концом.

На плоскости даны два отрезка <i>AB</i>и <i>A'B'</i>. Постройте точку <i>O</i>так, чтобы треугольники <i>AOB</i>и <i>A'OB'</i>были подобны (одинаковые буквы обозначают соответственные вершины подобных треугольников).

На прямой даны четыре точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>в указанном порядке. Постройте точку <i>M</i>, из которой отрезки <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>видны под равными углами.

Постройте окружность, касательные к которой, проведенные из трех данных точек <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>, имели бы длины <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i>соответственно.

Даны три точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>. Постройте три окружности, попарно касающиеся в этих точках.

Даны две точки<i>A</i>и<i>B</i>и окружность. Найти на окружности точку<i>X</i>так, чтобы прямые<i>AX</i>и<i>BX</i>отсекли на окружности хорду<i>CD</i>, параллельную данной прямой<i>MN</i>.

Постройте окружность, равноудалённую от четырёх данных точек.

Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две из них провести окружность так, чтобы построенные окружности были взаимно ортогональны.

Постройте вписанный четырехугольник по четырем сторонам (Брахмагупта).

Постройте выпуклый четырехугольник, если даны длины всех его сторон и одной средней линии (средней линией четырехугольника называют отрезок, соединяющий середины противоположных сторон).

На доске была начерчена трапеция <i>ABCD</i>(<i>AD</i>|<i>BC</i>) и проведены перпендикуляр <i>OK</i>из точки <i>O</i>пересечения диагоналей на основание <i>AD</i>и средняя линия <i>EF</i>. Затем трапецию стерли. Как восстановить чертеж по сохранившимся отрезкам <i>OK</i>и <i>EF</i>?

Даны вершины <i>A</i>и <i>C</i>равнобедренной описанной трапеции <i>ABCD</i>(<i>AD</i>|<i>BC</i>); известны также направления ее оснований. Постройте вершины <i>B</i>и <i>D</i>.