Олимпиадные задачи из источника «2015/2016» для 11 класса - сложность 2 с решениями
Квадрат со стороной 9 клеток разрезали по линиям сетки на 14 прямоугольников таким образом, что длина каждой стороны любого прямоугольника не меньше, чем две клетки. Могло ли оказаться так, что среди этих прямоугольников не было ни одного квадрата?
У чисел 1000², 1001², 1002², ... отбрасывают по две последние цифры. Сколько первых членов полученной последовательности образуют арифметическую прогрессию?
Изначально на экране компьютера – какое-то простое число. Каждую секунду число на экране заменяется на число, полученное из предыдущего прибавлением его последней цифры, увеличенной на 1. Через какое наибольшее время на экране возникнет составное число?
Существует ли такая функция <i>f</i>(<i>x</i>), определённая для всех действительных чисел, что <i>f</i>(sin <i>x</i>) + <i>f</i>(cos <i>x</i>) = sin <i>x</i>?
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> отмечены середины противоположных сторон <i>BC</i> и <i>AD</i>– точки <i>M</i> и <i>N</i>. Диагональ <i>AC</i> проходит через середину отрезка <i>MN</i>. Найдите площадь <i>АВСD</i>, если площадь треугольника <i>АВС</i> равна <i>S</i>.
Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65611/problem_65611_img_2.gif">
Найдите все натуральные <i>n</i> и <i>k</i>, удовлетворяющие равенству <i>k</i><sup>5</sup> + 5<i>n</i><sup>4</sup> = 81<i>k</i>.
В выпуклом пятиугольнике равны все стороны, а также равны четыре из пяти диагоналей.
Следует ли из этого условия, что пятиугольник – правильный?
Известно, что <i>b – c > a</i> и <i>а</i> ≠ 0. Обязательно ли уравнение <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0 имеет два корня?
Сумма девяти различных натуральных чисел равна 200. Всегда ли можно выбрать из них четыре числа так, чтобы их сумма была больше чем 100?
Решите систему уравнений: <img align="middle" src="/storage/problem-media/65486/problem_65486_img_2.png">.
На плоскости проведены <i>n</i> прямых так, что каждые две пересекаются, но никакие четыре через одну точку не проходят. Всего имеются 16 точек пересечения, причём через 6 из них проходят по три прямые. Найдите <i>n</i>.
Решите в натуральных числах уравнение: <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + 1 = 3<i>xy</i>.
Около единичного квадрата <i>ABCD</i> описана окружность, на которой выбрана точка <i>М</i>.
Какое наибольшее значение может принимать произведение <i>MA·MB·MC·MD</i>?
У многочленов <i>Р</i>(<i>х</i>) и <i>Q</i>(<i>х</i>) – один и тот же набор целых коэффициентов (их порядок – различен).
Докажите, что разность <i>Р</i>(2015) – <i>Q</i>(2015) кратна 1007.
Натуральные числа <i>A</i> и <i>B</i> делятся на все натуральные числа от 1 до 65. На какое наименьшее натуральное число может не делиться число <i>A + B</i>?
В параллелограмме <i>АВСD</i> точка <i>Е</i> – середина стороны <i>AD</i>, точка <i>F</i> – основание перпендикуляра, опущенного из вершины <i>В</i> на прямую <i>СЕ</i>.
Найдите площадь треугольника <i>ABF</i>, если <i>АВ = а</i>, ∠<i>ВАF</i> = α.
Найдите ближайшее целое число к числу <i>x</i>, если <i>x</i> = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65474/problem_65474_img_2.png">.
На сторонах <i>АВ</i> и <i>АС </i>равнобедренного треугольника <i>АВС</i> (<i>АВ = АС</i>) соответственно отмечены точки <i>М</i>и <i>N</i> так, что <i>АN > AM</i>. Прямые <i>MN</i> и <i>ВС</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Сравните длины отрезков <i>MK</i> и <i>MB</i>.
Существует ли квадратный трёхчлен, который при <i>x</i> = 2014, 2015, 2016 принимает значения 2015, 0, 2015 соответственно?
Сумма неотрицательных чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub>10</sub> равна 1. Найдите наибольшее возможное значение суммы <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>2</sub><i>x</i><sub>3</sub> + ... + <i>x</i><sub>9</sub><i>x</i><sub>10</sub>.
Каких натуральных чисел от 1 до 1000000 (включительно) больше: чётных с нечётной суммой цифр или нечётных с чётной суммой цифр?
Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>Р</i> так, что ∠<i>АРВ</i> + ∠<i>СРD</i> = 180°. Докажите, что ∠<i>РВC</i> = ∠<i>РDC</i>.
Сумма трёх различных чисел равна 10, а разность между наибольшим и наименьшим равна 3.
Какие значения может принимать число, среднее по величине?
На доске записаны числа 20 и 100. Разрешается дописать на доску произведение любых двух имеющихся на ней чисел. Можно ли такими операциями когда-нибудь получить на доске число 50...0 (2015 нулей)?