Олимпиадные задачи из источника «35 турнир (2013/2014 год)» для 11 класса

На плоскости нарисована замкнутая самопересекающаяся ломаная. Она пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём через каждую точку самопересечения проходят ровно два звена. Может ли каждая точка самопересечения делить оба этих звена пополам? (Нет самопересечений в вершинах и звеньев с общим отрезком.)

Существуют ли такие две функции  <i>f</i> и <i>g</i>, принимающие только целые значения, что для любого целого <i>x</i> выполнены соотношения:

  а)  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>x,  g</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) = <i>x,   f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) > <i>x,  g</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) > <i>x</i>?

  б)  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) < <i>x, g</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) < <i>x</i>,   <i>f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) > <i>x,  g</i>(<i>f</i>(<i>x&...

Дан треугольник, у которого нет равных углов. Петя и Вася играют в такую игру: за один ход Петя отмечает точку на плоскости, а Вася красит её по своему выбору в красный или синий цвет. Петя выиграет, если какие-то три из отмеченных им и покрашенных Васей точек образуют одноцветный треугольник, подобный исходному. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть (каков бы ни был исходный треугольник)?

Дано несколько белых и несколько чёрных точек. Из каждой белой точки идет стрелка в каждую чёрную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на её концах?

Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) удовлетворяет условиям:  <i>P</i>(0) = 1,  (<i>P</i>(<i>x</i>))² = 1 + <i>x + x</i>¹⁰⁰<i>Q</i>(<i>x</i>),  где <i>Q</i>(<i>x</i>) – некий многочлен.

Докажите, что коэффициент при <i>x</i>⁹⁹ в многочлене  (<i>P</i>(<i>x</i>) + 1)¹⁰⁰  равен нулю.

Каждому городу в некоторой стране присвоен индивидуальный номер. Имеется список, в котором для каждой пары номеров указано, соединены города с данными номерами железной дорогой или нет. Оказалось, что, какие ни взять два номера <i>M</i> и <i>N</i> из списка, можно так перенумеровать города, что город с номером <i>M</i> получит номер <i>N</i>, но список по-прежнему будет верным. Верно ли, что, какие ни взять два номера <i>M</i> и <i>N</i> из списка, можно так перенумеровать города, что город с номером <i>M</i> получит номер <i>N</i>, город с номером <i>N</i> получит номер <i>M</i>, но список по-прежнему будет верным?

Дан многочлен двадцатой степени с целыми коэффициентами. На плоскости отметили все точки с целыми координатами, у которых ординаты не меньше 0 и не больше 10. Какое наибольшее число отмеченных точек может лежать на графике этого многочлена?

Царь вызвал двух мудрецов. Он дал первому 100 пустых карточек и приказал написать на каждой по положительному числу (числа не обязательно разные), не показывая их второму. Затем первый может сообщить второму несколько различных чисел, каждое из которых либо записано на какой-то карточке, либо равно сумме чисел на каких-то карточках (не уточняя, как именно каждое число получено). Второй должен определить, какие 100 чисел написаны на карточках. Если он этого не сможет, обоим отрубят головы; иначе из бороды каждого вырвут столько волосков, сколько чисел сообщил первый второму. Как мудрецам, не сговариваясь, остаться в живых и потерять минимальное количество волосков?

Верно ли, что любой выпуклый многоугольник можно по прямой разрезать на два меньших многоугольника с равными периметрами и

  а) равными наибольшими сторонами?

  б) равными наименьшими сторонами?

Незнайка хвастается, что написал в ряд несколько единиц, поставил между каждыми соседними единицами знак "+" или "&times", расставил скобки и получил выражение, значение которого равно 2014; более того, если в этом выражении заменить одновременно все знаки "+" на знаки "&times", а знаки "&times" на знаки "+", все равно получится 2014. Может ли он быть прав?

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пешеход Петя выходит из вершины <i>A</i>, идёт по стороне <i>AB</i> и далее по контуру четырёхугольника. Пешеход Вася выходит из вершины <i>A</i> одновременно с Петей, идёт по диагонали <i>AC</i> и одновременно с Петей приходит в <i>C</i>. Пешеход Толя выходит из вершины <i>B</i> в тот момент, когда её проходит Петя, идёт по диагонали <i>BD</i> и одновременно с Петей приходит в <i>D</i>. Скорости пешеходов постоянны.

Могли ли Вася и Толя прийти в точку пересечения диагоналей <i>O</i> одновременно?

Натуральные числа <i>a, b, c, d</i> попарно взаимно просты и удовлетворяют равенству  <i>ab + cd = ac</i> – 10<i>bd</i>.

Докажите, что среди них найдутся три числа, одно из которых равно сумме двух других.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> диагонали перпендикулярны. На сторонах <i>AD</i> и <i>CD</i> отмечены соответственно точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что углы <i>ABN</i> и <i>CBM</i> прямые. Докажите, что прямые <i>AC</i> и <i>MN</i> параллельны.

У Чебурашки есть набор из 36 камней массами 1 г, 2 г, ..., 36 г, а у Шапокляк есть суперклей, одной каплей которого можно склеить два камня в один (соответственно, можно склеить три камня двумя каплями и так далее). Шапокляк хочет склеить камни так, чтобы Чебурашка не смог из получившегося набора выбрать один или несколько камней общей массой 37 г. Какого наименьшего количества капель клея ей хватит, чтобы осуществить задуманное?

Петя нарисовал на плоскости квадрат, разделил на 64 одинаковых квадратика и раскрасил их в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. После этого он загадал точку, находящуюся строго внутри одного из этих квадратиков. Вася может начертить на плоскости любую замкнутую ломаную без самопересечений и получить ответ на вопрос, находится ли загаданная точка строго внутри ломаной или нет. За какое наименьшее количество таких вопросов Вася может узнать, какого цвета загаданная точка – белого или чёрного?

Космический аппарат сел на неподвижный астероид, про который известно только, что он представляет собой шар или куб. Аппарат проехал по поверхности астероида в точку, симметричную начальной относительно центра астероида. Всё это время он непрерывно передавал свои пространственные координаты на космическую станцию, и там точно определили трёхмерную траекторию аппарата. Может ли этого оказаться недостаточно, чтобы отличить, по кубу или по шару ездил аппарат?

Наименьшее общее кратное натуральных чисел <i>a, b</i> будем обозначать [<i>a, b</i>]. Пусть натуральное число <i>n</i> таково, что  [<i>n, n</i> + 1] > [<i>n, n</i> + 2] > ... > [<i>n, n</i> + 35].

Докажите, что  [<i>n, n</i> + 35] > [<i>n, n</i> + 36].

На сторонах треугольника <i>ABC</i> построены три подобных треугольника: <i>YBA</i> и <i>ZAC</i> – во внешнюю сторону, а <i>XBC</i> – внутрь (соответственные вершины перечисляются в одинаковом порядке). Докажите, что <i>AYXZ</i> – параллелограмм.

На шахматной доске стоят восемь не бьющих друг друга ладей. Докажите, что можно каждую из них передвинуть ходом коня так, что они по-прежнему не будут бить друг друга. (Все восемь ладей передвигаются "одновременно", то есть если, например, две ладьи бьют друг друга ходом коня, то их можно поменять местами.)

Найдётся ли такое десятизначное число, записанное десятью различными цифрами, что после вычеркивания из него любых шести цифр получится составное четырёхзначное число?

Дан правильный треугольник <i>ABC</i> с центром <i>O</i>. Прямая, проходящая через вершину <i>C</i>, пересекает описанную окружность треугольника <i>AOB</i> в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Докажите, что точки <i>A, O</i> и середины отрезков <i>BD, BE</i> лежат на одной окружности.

Каждое ли целое число можно записать как сумму кубов нескольких целых чисел, среди которых нет одинаковых?

Найдите все <i>n</i>, при которых для любых двух многочленов <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> найдутся такие одночлены <i>ax^k</i> и <i>bx^l</i>

(0 ≤ <i>k ≤ n</i>,  0 ≤ <i>l ≤ n</i>),  что графики многочленов  <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>ax^k</i>  и  <i>Q</i>(<i>x</i>) + <i>bx^l</i>  не будут иметь общих точек.