Олимпиадные задачи из источника «глава 14. Центр масс» для 10-11 класса - сложность 2-4 с решениями
Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.
Найдите трилинейные координаты точек Брокара.
Найдите уравнение описанной окружности треугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>в барицентрических координатах.
Пусть <i>M</i> — центр масс треугольника<i>ABC</i>,<i>X</i> — произвольная точка. На прямых<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>так, что<i>A</i><sub>1</sub><i>X</i>|<i>AM</i>,<i>B</i><sub>1</sub><i>X</i>|<i>BM</i>и <i>C</i><sub>1</sub><i>X</i>|<i>CM</i>. Докажите, что центр масс <i>M</i><sub>1</sub>треугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i>...
а) Вычислите барицентрические координаты точки Нагеля<i>N</i>. б) Пусть<i>N</i>— точка Нагеля,<i>M</i>— центр масс,<i>I</i>— центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что$\overrightarrow{NM}$= 2$\overrightarrow{MI}$; в частности точка<i>N</i>лежит на прямой<i>MI</i>.
Пусть($\alpha$:$\beta$:$\gamma$) — абсолютные барицентрические координаты точки <i>X</i>;<i>M</i> — центр масс треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что3$\overrightarrow{XM}$= ($\alpha$-$\beta$)$\overrightarrow{AB}$+ ($\beta$-$\gamma$)$\overrightarrow{BC}$+ ($\gamma$-$\alpha$)$\overrightarrow{CA}$.
Относительно треугольника<i>ABC</i>точка <i>X</i>имеет абсолютные барицентрические координаты($\alpha$:$\beta$:$\gamma$). Докажите, что$\overrightarrow{XA}$=$\beta$$\overrightarrow{BA}$+$\gamma$$\overrightarrow{CA}$.
Найдите барицентрические координаты а) центра описанной окружности; б) центра вписанной окружности; в) ортоцентра треугольника.
Точка <i>X</i>лежит внутри треугольника<i>ABC</i>. Прямые, проходящие через точку <i>X</i>параллельно<i>AC</i>и <i>BC</i>, пересекают сторону<i>AB</i>в точках <i>K</i>и <i>L</i>соответственно. Докажите, что барицентрические координаты точки <i>X</i>равны(<i>BL</i>:<i>AK</i>:<i>LK</i>).
Докажите, что барицентрические координаты точки <i>X</i>, лежащей внутри треугольника<i>ABC</i>, равны(<i>S</i><sub>BCX</sub>:<i>S</i><sub>CAX</sub>:<i>S</i><sub>ABX</sub>).
Пусть задан треугольник<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>. Докажите, что: а) любая точка <i>X</i>имеет некоторые барицентрические координаты относительно него; б) при условии<i>m</i><sub>1</sub>+<i>m</i><sub>2</sub>+<i>m</i><sub>3</sub>= 1 барицентрические координаты точки <i>X</i>определены однозначно.
Три мухи равной массы ползают по сторонам треугольника так, что их центр масс остается на месте. Докажите, что он совпадает с точкой пересечения медиан треугольника<i>ABC</i>, если известно, что одна муха проползла по всей границе треугольника.
Пусть<i>ABCD</i> — выпуклый четырехугольник,<i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>. Докажите, что точка пересечения отрезков<i>KM</i>и <i>LN</i>является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.