Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Треугольники» для 3-8 класса - сложность 4 с решениями

Высоты треугольника <i>ABC</i>пересекаются в точке <i>H</i>. а) Докажите, что треугольники<i>ABC</i>,<i>HBC</i>,<i>AHC</i>и <i>ABH</i>имеют общую окружность девяти точек. б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников <i>ABC</i>,<i>HBC</i>,<i>AHC</i>и <i>ABH</i>пересекаются в одной точке. в) Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>ABC</i>,<i>HBC</i>,<i>AHC</i>и <i>ABH</i>образуют четырехугольник, симметричный четырехугольнику <i>HABC</i>.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>лежат на одной прямой, точка <i>P</i> — вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>ABP</i>,<i>BCP</i>,<i>ACP</i>и точка <i>P</i>лежат на одной окружности.

Дан треугольник <i>ABC</i>. На прямых <i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>взяты точки <i>C</i>₁,<i>A</i>₁и <i>B</i>₁, причем <i>k</i>из них лежат на сторонах треугольника и 3 -<i>k</i> — на продолжениях сторон. Пусть<div align="CENTER"> <i>R</i> = $\displaystyle {\frac{BA_1}{CA_1}}$^.$\displaystyle {\frac{CB_1}{AB_1}}$^.$\displaystyle {\frac{AC_1}{BC_1}}$. </div> Докажите, что: а) точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁лежат на одной прямой...

а) Укажите два прямоугольных треугольника, из которых можно сложить треугольник, длины сторон и площадь которого — целые числа. б) Докажите, что если площадь треугольника — целое число, а длины сторон — последовательные натуральные числа, то этот треугольник можно сложить из двух прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами.

Приведите пример вписанного четырехугольника с попарно различными целочисленными длинами сторон, у которого длины диагоналей, площадь и радиус описанной окружности — целые числа (Брахмагупта).

Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его сторон — целые числа. Докажите, что эти числа равны 3, 4, 5.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>с углом <i>A</i>, равным 60^<tt>o</tt>, высоты пересекаются в точке <i>H</i>. а) Пусть <i>M</i>и <i>N</i> — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам <i>BH</i>и <i>CH</i>со сторонами <i>AB</i>и <i>AC</i>соответственно. Докажите, что точки <i>M</i>,<i>N</i>и <i>H</i>лежат на одной прямой. б) Докажите, что на той же прямой лежит центр <i>O</i>описанной окружности.

На гипотенузе <i>AB</i>прямоугольного треугольника <i>ABC</i>внешним образом построен квадрат <i>ABPQ</i>. Пусть $\alpha$=$\angle$<i>ACQ</i>,$\beta$=$\angle$<i>QCP</i>и $\gamma$=$\angle$<i>PCB</i>. Докажите, что cos$\beta$= cos$\alpha$cos$\gamma$.

В треугольнике <i>ABC</i>сторона <i>BC</i>наименьшая. На лучах <i>BA</i>и <i>CA</i>отложены отрезки <i>BD</i>и <i>CE</i>, равные <i>BC</i>. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника <i>ADE</i>равен расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.

Длины сторон треугольника <i>ABC</i>образуют арифметическую прогрессию, причем <i>a</i><<i>b</i><<i>c</i>. Биссектриса угла <i>B</i>пересекает описанную окружность в точке <i>B</i>₁. Докажите, что центр <i>O</i>вписанной окружности делит отрезок <i>BB</i>₁пополам.

Продолжения биссектрис углов треугольника <i>ABC</i>пересекают описанную окружность в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁; <i>M</i> — точка пересечения биссектрис. Докажите, что:<div align="CENTER"> a) $\displaystyle {\frac{MA\cdot MC}{MB_1}}$ = 2<i>r</i>;        б) $\displaystyle {\frac{MA_1\cdot MC_1}{MB}}$ = <i>R</i>. </div>

Пусть<i>O</i>— центр описанной окружности треугольника<i>ABC</i>,<i>I</i>— центр вписанной окружности. Докажите, что<i>OB</i>$\bot$<i>BI</i>(или же<i>O</i>совпадает с<i>I</i>) тогда и только тогда, когда<i>b</i>= (<i>a</i>+<i>c</i>)/2.

Пусть <i>O</i> — центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, <i>I</i> — центр вписанной окружности, <i>I</i>_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>BC</i>. Докажите, что: а) <i>d</i>²=<i>R</i>²- 2<i>Rr</i>, где <i>d</i>=<i>OI</i>; б) <i>d</i>_a²=<i>R</i>²+ 2<i>Rr</i>_a, где <i>d</i>_a=<i>OI</i>_a.

Окружность касается сторон угла с вершиной <i>A</i>в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Расстояния от точек <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>A</i>до некоторой касательной к этой окружности равны <i>u</i>,<i>v</i>и <i>w</i>. Докажите, что <i>uv</i>/<i>w</i>²= sin²(<i>A</i>/2).

В неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i>через середину <i>M</i>стороны <i>BC</i>и центр <i>O</i>вписанной окружности проведена прямая <i>MO</i>, пересекающая высоту <i>AH</i>в точке <i>E</i>. Докажите, что <i>AE</i>=<i>r</i>.

Угол величиной $\alpha$=$\angle$<i>BAC</i>вращается вокруг своей вершины <i>O</i> — середины основания <i>AC</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Стороны этого угла пересекают отрезки <i>AB</i>и <i>BC</i>в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Докажите, что периметр треугольника <i>PBQ</i>остается постоянным.

Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — проекции некоторой внутренней точки <i>O</i>треугольника <i>ABC</i>на высоты. Докажите, что если длины отрезков <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁равны, то они равны 2<i>r</i>.

Докажите, что в любом треугольнике точка <i>H</i> пересечения высот (ортоцентр), центр <i>O</i> описанной окружности и точка <i>M</i> пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка <i>M</i> расположена между точками <i>O</i> и <i>H</i>, и <i>MH</i> = 2<i>MO</i>.

Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.

Докажите, что если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.