Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Построения» для 1-8 класса - сложность 4 с решениями
глава 8. Построения
НазадДаны прямая <i>l</i>и отрезок <i>OA</i>, параллельный <i>l</i>. С помощью одной двусторонней линейки постройте точки пересечения прямой <i>l</i>с окружностью радиуса <i>OA</i>с центром <i>O</i>.
Даны окружность, ее диаметр <i>AB</i>и точка <i>P</i>. С помощью одной линейки проведите через точку <i>P</i>перпендикуляр к прямой <i>AB</i>.
Даны две параллельные прямые и точка <i>P</i>. С помощью одной линейки проведите через точку <i>P</i>прямую, параллельную данным прямым.
Даны две параллельные прямые. С помощью одной линейки разделите отрезок, лежащий на одной из них, на <i>n</i>равных частей.
Даны две параллельные прямые. С помощью одной линейки разделите пополам отрезок, лежащий на одной из данных прямых.
С помощью двусторонней линейки постройте центр данной окружности, диаметр которой больше ширины линейки.
На клочке бумаги нарисованы две прямые, образующие угол, вершина которого лежит вне этого клочка. С помощью циркуля и линейки проведите ту часть биссектрисы угла, которая лежит на клочке бумаги.
Даны диаметр <i>AB</i>окружности и точка <i>C</i>на нем. Постройте на этой окружности точки <i>X</i>и <i>Y</i>, симметричные относительно прямой <i>AB</i>, так, чтобы прямые <i>AX</i>и <i>YC</i>были перпендикулярными.
Постройте прямоугольник с данным отношением сторон, зная по одной точке на каждой из его сторон.
На прямой даны четыре точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>в указанном порядке. Постройте точку <i>M</i>, из которой отрезки <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>видны под равными углами.
Даны две точки<i>A</i>и<i>B</i>и окружность. Найти на окружности точку<i>X</i>так, чтобы прямые<i>AX</i>и<i>BX</i>отсекли на окружности хорду<i>CD</i>, параллельную данной прямой<i>MN</i>.
Постройте окружность, равноудалённую от четырёх данных точек.
Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две из них провести окружность так, чтобы построенные окружности были взаимно ортогональны.
Постройте выпуклый четырехугольник, если даны длины всех его сторон и одной средней линии (средней линией четырехугольника называют отрезок, соединяющий середины противоположных сторон).
На доске была начерчена трапеция <i>ABCD</i>(<i>AD</i>|<i>BC</i>) и проведены перпендикуляр <i>OK</i>из точки <i>O</i>пересечения диагоналей на основание <i>AD</i>и средняя линия <i>EF</i>. Затем трапецию стерли. Как восстановить чертеж по сохранившимся отрезкам <i>OK</i>и <i>EF</i>?
Даны вершины <i>A</i>и <i>C</i>равнобедренной описанной трапеции <i>ABCD</i>(<i>AD</i>|<i>BC</i>); известны также направления ее оснований. Постройте вершины <i>B</i>и <i>D</i>.
На стороне <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>дана точка <i>P</i>. Проведите через точку <i>P</i>прямую (отличную от <i>AB</i>), пересекающую лучи <i>CA</i>и <i>CB</i>в таких точках <i>M</i>и <i>N</i>, что <i>AM</i>=<i>BN</i>.
Постройте треугольник <i>ABC</i>по радиусу описанной окружности и биссектрисе угла <i>A</i>, если известно, что разность углов <i>B</i>и <i>C</i>равна 90<sup><tt>o</tt></sup>.
Дан треугольник <i>ABC</i>, причем <i>AB</i><<i>BC</i>. Постройте на стороне <i>AC</i>точку <i>D</i>так, чтобы периметр треугольника <i>ABD</i>был равен длине стороны <i>BC</i>.
Постройте треугольник <i>ABC</i>по центрам вписанной, описанной и одной из вневписанных окружностей.
Постройте треугольник <i>ABC</i>по центру описанной окружности <i>O</i>, точке пересечения медиан <i>M</i>и основанию <i>H</i>высоты <i>CH</i>.
Потроить треугольник по$\angle$<i>A</i>, высоте к стороне <i>a</i><i>h</i><sub>a</sub>и полупериметру <i>p</i>.
Потроить треугольник по сторонам<i>a</i>,<i>b</i>и биссектрисе к стороне <i>c</i> <i>l</i><sub>c</sub>.
Потроить треугольник по высоте к стороне <i>а</i><i>h</i><sub>a</sub>, медиане к стороне <i>a</i><i>m</i><sub>a</sub>и $\angle$<i>A</i>.
Постройте треугольник <i>ABC</i>по <i>h</i><sub>a</sub>,<i>b</i>-<i>c</i>и <i>r</i>.