Олимпиадные задачи из источника «37 турнир (2015/2016 год)» для 8 класса

Пусть <i>M</i> – середина основания <i>AC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i>. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> отмечены соответственно точки <i>E</i> и <i>F</i> так, что  <i>AE ≠ CF</i>  и

∠<i>FMC</i> = ∠<i>MEF</i> = α.  Найдите  ∠<i>AEM</i>.

а) Есть  2<i>n</i> + 1  батарейка  (<i>n</i> > 2).  Известно, что хороших среди них на одну больше, чем плохих, но какие именно батарейки хорошие, а какие плохие, неизвестно. В фонарик вставляются две батарейки, при этом он светит, только если обе они хорошие. За какое наименьшее число таких попыток можно гарантированно добиться, чтобы фонарик светил? б) Та же задача, но батареек 2<i>n</i>  (<i>n</i> > 2),  причём хороших и плохих поровну.

Робот-пылесос, имеющий форму круга, проехал по плоскому полу. Для каждой точки граничной окружности робота можно указать прямую, на которой эта точка оставалась в течение всего времени движения. Обязательно ли и центр робота оставался на некоторой прямой в течение всего времени движения?

Художник-абстракционист взял деревянный куб 5×5×5, разбил каждую грань на единичные квадраты и окрасил каждый из них в один из трёх цветов – чёрный, белый или красный – так, что нет соседних по стороне квадратов одного цвета. Какое наименьшее число чёрных квадратов могло при этом получиться? (Квадраты, имеющие общую сторону, считаются соседними и в случае, когда они лежат на разных гранях куба.)

Дан квадрат со стороной 10. Разрежьте его на 100 равных четырёхугольников, каждый из которых вписан в окружность диаметра  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65727/problem_65727_img_2.gif">

Существуют ли такие целые числа<i>a</i>и<i>b</i>, что   а) уравнение  <i>x</i>² +<i>ax + b</i>= 0  не имеет корней, а уравнение  [<i>x</i>²] +<i>ax + b</i>= 0 имеет?   б) уравнение  <i>x</i>² + 2<i>ax + b</i>= 0  не имеет корней, а уравнение  [<i>x</i>²] + 2<i>ax + b</i>= 0  имеет?

На длинной ленте бумаги выписали все числа от 1 до 1000000 включительно (в некотором произвольном порядке). Затем ленту разрезали на кусочки по две цифры в каждом кусочке. Докажите, что в каком бы порядке ни выписывались числа, на кусочках встретятся все двузначные числа.

На листе бумаги синим карандашом нарисовали треугольник, а затем провели в нём красным карандашом медиану, биссектрису и высоту (возможно, не все из разных вершин), лежащие внутри треугольника. Получили разбиение треугольника на части. Мог ли среди этих частей оказаться равносторонний треугольник с красными сторонами?

В квадрате 10×10 все клетки левого верхнего квадрата 5×5 закрашены чёрным цветом, а остальные клетки – белым. На какое наибольшее количество многоугольников можно разрезать (по границам клеток) этот квадрат так, чтобы в каждом многоугольнике чёрных клеток было в три раза меньше, чем белых? (Многоугольники не обязаны быть равными или даже равновеликими.)

Существуют ли 2016 целых чисел, сумма и произведение которых равны 2016?

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 60°, <i>H</i> – точка пересечения высот. Окружность с центром <i>H</i> и радиусом <i>HC</i> второй раз пересекает прямые <i>CA</i> и <i>CB</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AN</i> и <i>BM</i> параллельны (или совпадают).

По кругу стоят мальчики и девочки (есть и те, и другие), всего 20 детей. Известно, что у каждого мальчика сосед по часовой стрелке – ребёнок в синей футболке, а у каждой девочки сосед против часовой стрелки – ребёнок в красной футболке. Можно ли однозначно установить, сколько в круге мальчиков?

Дан клетчатый квадрат 10×10. Внутри него провели 80 единичных отрезков по линиям сетки, которые разбили квадрат на 20 многоугольников равной площади. Докажите, что все эти многоугольники равны.

У Деда Мороза было <i>n</i> сортов конфет, по <i>k</i> штук каждого сорта. Он распределил все конфеты как попало по <i>k</i> подаркам, в каждый – по <i>n</i> конфет, и раздал их <i>k</i> детям. Дети решили восстановить справедливость. Два ребёнка готовы передать друг другу по конфете, если каждый получает конфету сорта, которого у него нет. Всегда ли можно организовать серию обменов так, что у каждого окажутся конфеты всех сортов?

Петя увидел на доске несколько различных чисел и решил составить выражение, среди значений которого все эти числа есть, а других нет. Составляя выражение, Петя может использовать какие угодно числа, особый знак "±", а также обычные знаки "+", "–", "×" и скобки. Значения составленного выражения он вычисляет, выбирая для каждого знака "±" либо "+", либо "–" во всех возможных комбинациях. Например, если на доске были числа 4 и 6, подойдёт выражение  5 ± 1,  а если на доске были числа 1, 2 и 3, то подойдёт выражение  (2 ± 0,5) ± 0,5.  Возможно ли составить необходимое выражение, если на доске были написаны

  а) числа 1, 2, 4;

  б) любые 100 различных действительных чисел?

В треугольнике <i>ABC</i> медианы <i>AA</i>₀, <i>BB</i>₀, <i>CC</i>₀ пересекаются в точке <i>M</i>.

Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>MA</i>₀<i>B</i>₀, <i>MCB</i>₀, <i>MA</i>₀<i>C</i>₀, <i>MBC</i>₀ и точка <i>M</i> лежат на одной окружности.

Из спичек сложен клетчатый квадрат 9×9, сторона каждой клетки – одна спичка. Петя и Вася по очереди убирают по спичке, начинает Петя. Выиграет тот, после чьего хода не останется целых квадратиков 1×1. Кто может действовать так, чтобы обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

Докажите, что сумма длин любых двух медиан произвольного треугольника

  а) не больше ¾ <i>P</i>, где <i>P</i> – периметр этого треугольника;

  б) не меньше ¾ <i>p</i>, где <i>p</i> – полупериметр этого треугольника.

Из целых чисел от 1 до 100 удалили <i>k</i> чисел. Обязательно ли среди оставшихся чисел можно выбрать <i>k</i> различных чисел с суммой 100, если

  а)  <i>k</i> = 9;   б)  <i>k</i> = 8?

Будем называть клетчатый многоугольник <i>выдающимся</i>, если он не является прямоугольником и из нескольких его копий можно сложить подобный ему многоугольник. Например, уголок из трёх клеток – выдающийся многоугольник (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65461/problem_65461_img_2.gif"></div>  а) Придумайте выдающийся многоугольник из четырёх клеток.   б) При каких  <i>n</i>> 4  существует выдающийся многоугольник из<i>n</i>клеток?

В стране 100 городов, между каждыми двумя городами осуществляется беспосадочный перелёт. Все рейсы платные и стоят положительное (возможно, нецелое) число тугриков. Для любой пары городов А и Б перелёт из А в Б стоит столько же, сколько перелёт из Б в А. Средняя стоимость перелёта равна 1 тугрику. Путешественник хочет облететь какие-нибудь <i>m</i> разных городов за <i>m</i> перелётов, начав и закончив в своём родном городе. Всегда ли ему удастся совершить такое путешествие, потратив на билеты не более <i>m</i> тугриков, если

  а)  <i>m</i> = 99;

  б)  <i>m</i> = 100?

На катетах <i>AC</i> и <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> отметили точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, а на гипотенузе <i>AB</i> – точку <i>M</i> так, что  <i>AK = BL = a,

KM = LM = b</i>  и угол <i>KML</i> прямой. Докажите, что  <i>a = b</i>.

Трое играют в "камень-ножницы-бумагу". В каждом раунде каждый наугад показывает "камень", "ножницы" или "бумагу". "Камень" побеждает "ножницы", "ножницы" побеждают "бумагу", "бумага" побеждает "камень". Если в раунде было показано ровно два различных элемента (и значит, один из них показали дважды), то игроки (или игрок), показавшие победивший элемент, получают по 1 баллу; иначе баллы никому не начисляются. После нескольких раундов оказалось, что все элементы были показаны одинаковое количество раз. Докажите, что в этот момент сумма набранных всеми баллов делилась на 3.

Из одинаковых неравнобедренных прямоугольных треугольников составили прямоугольник (без дырок и наложений).

Обязательно ли какие-то два из этих треугольников расположены так, что образуют прямоугольник?

Верно ли, что любое натуральное число можно умножить на одно из чисел 1, 2, 3, 4 или 5 так, чтобы результат начинался на цифру 1?