Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Трилинейные координаты» для 9 класса - сложность 3-5 с решениями
параграф 6. Трилинейные координаты
НазадПусть(<i>x</i><sub>1</sub>,<i>y</i><sub>1</sub>,<i>z</i><sub>1</sub>) и(<i>x</i><sub>2</sub>,<i>y</i><sub>2</sub>,<i>z</i><sub>2</sub>) — абсолютные трилинейные координаты точек<i>M</i>и<i>N</i>. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>MN</i><sup>2</sup> = $\displaystyle {\frac{\cos\alpha}{\sin\beta\sin\gamma}}$(<i>x</i><sub>1</sub> - <i>x</i><sub>2</sub>)<sup>2</sup> + $\displaystyle {\frac{\cos\beta}{\sin\gamma\sin\alpha}}$(<i>y</i><sub>1</sub> - <i>y</i><sub>2</sub>)<sup>2&...
а) Найдите трилинейные координаты вершин треугольника Брокара. б) Найдите трилинейные координаты точки Штейнера (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158039">19.55.2</a>).
Докажите, что вписанная окружность касается окружности девяти точек (Фейербах). Найдите трилинейные координаты точки касания.
Докажите, что касательная к вписанной окружности в точке(<i>x</i><sub>0</sub>:<i>y</i><sub>0</sub>:<i>z</i><sub>0</sub>) задается уравнением<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{x}{\sqrt{x_0}}}$cos$\displaystyle {\frac{\alpha }{2}}$ + $\displaystyle {\frac{y}{\sqrt{y_0}}}$cos$\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$ + $\displaystyle {\frac{z}{\sqrt{z_0}}}$cos$\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$ = 0. </div>
а) Докажите, что в трилинейных координатах любая окружность задается уравнением вида<div align="CENTER"> (<i>px</i> + <i>qy</i> + <i>rz</i>)(<i>x</i> sin$\displaystyle \alpha$ + <i>y</i> sin$\displaystyle \beta$ + <i>z</i> sin$\displaystyle \gamma$) = <i>yz</i> sin$\displaystyle \alpha$ + <i>xz</i> sin$\displaystyle \beta$ + <i>xy</i> sin$\displaystyle \gamma$. </div> б) Докажите, что радикальная ось двух окружностей, заданных уравнениями такого вида, задается уравнением<div align="CENTER"> <i>p</i><sub>1</sub><i>x</i> + <i>q</i><sub>1</sub><i>y</i> + <i>r</i><...
Найдите уравнение окружности девяти точек в трилинейных координатах.
Найдите уравнения в трилинейных координатах для: а) описанной окружности; б) вписанной окружности; в) вневписанной окружности.
На сторонах треугольника<i>ABC</i>внешним (внутренним) образом построены правильные треугольники<i>ABC</i><sub>1</sub>,<i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i>и<i>A</i><sub>1</sub><i>BC</i>. Докажите, что прямые<i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>и<i>CC</i><sub>1</sub>пересекаются в одной точке. Найдите трилинейные координаты этой точки.
Найдите трилинейные координаты точек Брокара.
На сторонах<i>AD</i>и<i>DC</i>выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>взяты точки<i>P</i>и<i>Q</i>так, что$\angle$<i>ABP</i>=$\angle$<i>CBQ</i>. Отрезки<i>AQ</i>и<i>CP</i>пересекаются в точке<i>E</i>. Докажите, что$\angle$<i>ABE</i>=$\angle$<i>CBD</i>.
Продолжения сторон выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>пересекаются в точках<i>P</i>и<i>Q</i>. Докажите, что точки пересечения биссектрис внешних углов при вершинах<i>A</i>и<i>C</i>,<i>B</i>и<i>D</i>,<i>P</i>и<i>Q</i>лежат на одной прямой.