Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Треугольники» для 5-8 класса - сложность 3-4 с решениями

Углы треугольника <i>ABC</i> удовлетворяют соотношению  sin²<i>A</i> + sin²<i>B</i> + sin²<i>C</i> = 1.

Докажите, что его описанная окружность и окружность девяти точек пересекаются под прямым углом.

Через центр <i>O</i> правильного треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, пересекающая прямые <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁.

Докажите, что одно из чисел ¹/_<i>OA</i>₁, ¹/_<i>OB</i>₁ и ¹/_<i>OC</i>₁ равно сумме двух других.

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, а вневписанная окружность касается продолжения этих сторон в точках <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂. Докажите, что середина стороны <i>BC</i> равноудалена от прямых <i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>B</i>₂<i>C</i>₂.

Высоты треугольника <i>ABC</i>пересекаются в точке <i>H</i>. а) Докажите, что треугольники<i>ABC</i>,<i>HBC</i>,<i>AHC</i>и <i>ABH</i>имеют общую окружность девяти точек. б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников <i>ABC</i>,<i>HBC</i>,<i>AHC</i>и <i>ABH</i>пересекаются в одной точке. в) Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>ABC</i>,<i>HBC</i>,<i>AHC</i>и <i>ABH</i>образуют четырехугольник, симметричный четырехугольнику <i>HABC</i>.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>лежат на одной прямой, точка <i>P</i> — вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>ABP</i>,<i>BCP</i>,<i>ACP</i>и точка <i>P</i>лежат на одной окружности.

а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки <i>P</i> описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (<i>прямая Симсона</i>). б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки <i>P</i> на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка <i>P</i> лежит на описанной окружности треугольника.

Дан треугольник <i>ABC</i>. На прямых <i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>взяты точки <i>C</i>₁,<i>A</i>₁и <i>B</i>₁, причем <i>k</i>из них лежат на сторонах треугольника и 3 -<i>k</i> — на продолжениях сторон. Пусть<div align="CENTER"> <i>R</i> = $\displaystyle {\frac{BA_1}{CA_1}}$^.$\displaystyle {\frac{CB_1}{AB_1}}$^.$\displaystyle {\frac{AC_1}{BC_1}}$. </div> Докажите, что: а) точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁лежат на одной прямой...

Окружность радиуса <i>u_a</i> вписана в угол <i>A</i> треугольника <i>ABC</i>, окружность радиуса <i>u_b</i> вписана в угол <i>B</i>; эти окружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника со сторонами   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/56895/problem_56895_img_2.gif">   равен  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/56895/problem_56895_img_3.gif">  где <i>p</i> – полупериметр треугольника <i>ABC</i>.

На сторонах треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ так, что  <i>AB</i>₁ : <i>B</i>₁<i>C = cⁿ</i> : <i>aⁿ,  BC</i>₁ : <i>C</i>₁<i>A = aⁿ</i> : <i>bⁿ</i>  и  <i>CA</i>₁ : <i>A</i>₁<i>B = bⁿ</i> : <i>cⁿ</i>  (<i>a, b, c</i> – длины стор...

В каждый из углов треугольника <i>ABC</i> вписано по окружности. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла, видны под равными углами. Из другой – тоже. Докажите, что тогда и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.

На сторонах <i>AB, BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> (или на их продолжениях) взяты точки <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ так, что  ∠(<i>CC</i>₁, <i>AB</i>) = ∠(<i>AA</i>₁, <i>BC</i>) = ∠(<i>BB</i>₁, <i>CA</i>) = α.  Прямые <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁, <i>CC</i>₁ и <i>AA</i>₁...

На сторонах треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены квадраты с центрами <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁. Пусть <i>a</i>₁, <i>b</i>₁ и <i>c</i>₁ – длины сторон треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>S</i> и <i>S</i>₁ – площади треугольников <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Докажите,...

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены квадраты <i>ABC</i>₁<i>D</i>₁ и <i>A</i>₂<i>BCD</i>₂.

Докажите, что точка пересечения прямых <i>AD</i>₂ и <i>CD</i>₁ лежит на высоте <i>BH</i>.

Точка <i>E</i> – середина той дуги <i>AB</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, на которой лежит точка <i>C; C</i>₁ – середина стороны <i>AB</i>. Из точки <i>E</i> опущен перпендикуляр <i>EF</i> на <i>AC</i>. Докажите, что:

  а) прямая <i>C</i>₁<i>F</i> делит пополам периметр треугольника <i>ABC</i>;

  б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

а) В треугольниках <i>ABC</i>и <i>A'B'C'</i>равны стороны<i>AC</i>и<i>A'C'</i>, углы при вершинах<i>B</i>и<i>B'</i>и биссектрисы углов<i>B</i>и<i>B'</i>. Докажите, что эти треугольники равны (точнее говоря, треугольник<i>ABC</i>равен треугольнику<i>A'B'C'</i>или треугольнику<i>C'B'A'</i>). б) Через точку<i>D</i>биссектрисы<i>BB</i>₁угла<i>ABC</i>проведены прямые<i>AA</i>₁и<i>CC</i>₁(точки<i>A</i>₁и<i>C</i><sub>1</s...

Докажите, что проекции вершины <i>A</i> треугольника <i>ABC</i> на биссектрисы внешних и внутренних углов при вершинах <i>B</i> и <i>C</i> лежат на одной прямой.

Пусть  <i>x</i> = sin 18°.  Докажите, что  4<i>x</i>² + 2<i>x</i> = 1.

а) Укажите два прямоугольных треугольника, из которых можно сложить треугольник, длины сторон и площадь которого — целые числа. б) Докажите, что если площадь треугольника — целое число, а длины сторон — последовательные натуральные числа, то этот треугольник можно сложить из двух прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами.

Приведите пример вписанного четырехугольника с попарно различными целочисленными длинами сторон, у которого длины диагоналей, площадь и радиус описанной окружности — целые числа (Брахмагупта).

Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его сторон — целые числа. Докажите, что эти числа равны 3, 4, 5.

Длины всех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, причем наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Докажите, что его катеты равны 2<i>mn</i>и <i>m</i>²-<i>n</i>², а гипотенуза равна <i>m</i>²+<i>n</i>², где <i>m</i>и <i>n</i> — натуральные числа.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>с углом <i>A</i>, равным 60^<tt>o</tt>, высоты пересекаются в точке <i>H</i>. а) Пусть <i>M</i>и <i>N</i> — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам <i>BH</i>и <i>CH</i>со сторонами <i>AB</i>и <i>AC</i>соответственно. Докажите, что точки <i>M</i>,<i>N</i>и <i>H</i>лежат на одной прямой. б) Докажите, что на той же прямой лежит центр <i>O</i>описанной окружности.

В треугольнике <i>ABC</i>угол <i>A</i>равен 120^<tt>o</tt>. Докажите, что из отрезков длиной <i>a</i>,<i>b</i>,<i>b</i>+<i>c</i>можно составить треугольник.

а) Докажите, что если угол <i>A</i>треугольника <i>ABC</i>равен 120^<tt>o</tt>, то центр описанной окружности и ортоцентр симметричны относительно биссектрисы внешнего угла <i>A</i>. б) В треугольнике <i>ABC</i>угол <i>A</i>равен 60^<tt>o</tt>; <i>O</i> — центр описанной окружности, <i>H</i> — ортоцентр, <i>I</i> — центр вписанной окружности, а <i>I</i>_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>BC</i>. Докажите, что <i>IO</i>=<i>IH</i>и <i>I</i>_a<i>O</i>=<i>I</i>_a&...

Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, длины высот — целые числа. Докажите, что треугольник правильный.