Олимпиадные задачи из источника «Московская математическая регата» для 11 класса - сложность 3-5 с решениями
Существуют ли 2013 таких различных натуральных чисел, что сумма каждых двух из них делится на их разность?
В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>B</i> равен 60°. Точка <i>D</i> внутри треугольника такова, что ∠<i>ADB</i> = ∠<i>ADC</i> = ∠<i>BDC</i>.
Найдите наименьшее значение площади треугольника <i>ABC</i>, если <i>BD = a</i>.
В треугольнике <i>АВС</i> проведена биссектриса <i>АА</i><sub>1</sub>. Докажите, что серединный перпендикуляр к <i>АА</i><sub>1</sub>, перпендикуляр к <i>ВС</i>, проходящий через точку <i>А</i><sub>1</sub>, и прямая <i>АО</i> (<i>О</i> – центр описанной окружности) пересекаются в одной точке.
В футбольном чемпионате участвуют 18 команд. На сегодняшний день проведено 8 туров (в каждом туре все команды разбиваются на пары и в каждой паре команды играют друг с другом, причём пары не повторяются). Верно ли, что найдутся три команды, которые не сыграли ни одного матча между собой?
В треугольнике <i>ABC</i>: ∠<i>B</i> = 22,5°, ∠<i>C</i> = 45°. Докажите, что высота <i>АН</i>, медиана <i>BM</i> и биссектриса <i>CL</i> пересекаются в одной точке.
В кубе с ребром длины 1 провели два сечения в виде правильных шестиугольников. Найдите длину отрезка, по которому эти сечения пересекаются.
Каждый узел бесконечной сетки покрашен в один из четырёх цветов так, что вершины каждого квадрата со стороной 1 окрашены в разные цвета. Верно ли, что узлы одной из прямых сетки окрашены только в два цвета? (Сетка образована горизонтальными и вертикальными прямыми. Расстояние между соседними параллельными прямыми равно 1.)
Длина каждой из сторон выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i> меньше 1. Может ли длина каждой из диагоналей <i>АD, ВЕ</i> и <i>CF</i> быть не меньше 2?
Существуют ли такие значения <i>a</i> и <i>b</i>, при которых уравнение <i>х</i><sup>4</sup> – 4<i>х</i><sup>3</sup> + 6<i>х</i>² + <i>aх + b</i> = 0 имеет четыре различных действительных корня?
Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается его сторон <i>ВС</i>, <i>АС</i> и <i>АВ</i> в точках <i>A', B'</i> и <i>C'</i> соответственно. Точка <i>K</i> – проекция точки <i>C'</i> на прямую <i>A'B'</i>. Докажите, что <i>KC'</i> – биссектриса угла <i>AKB</i>.
Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность. Биссектрисы углов <i>В</i> и <i>С</i> пересекаются в точке, лежащей на отрезке <i>AD</i>.
Найдите <i>AD</i>, если <i>АВ</i> = 5, <i>СD</i> = 3.
Докажите, что если <i>x</i> > 0, <i>y</i> > 0, <i>z</i> > 0 и <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 1, то <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115995/problem_115995_img_2.gif">, и укажите, в каком случае достигается равенство.
Найдите наименьшее значение <i>x</i>² + <i>y</i>², если <i>x</i><sup>2</sup> – <i>y</i>² + 6<i>x</i> + 4<i>y</i> + 5 = 0.
На столе лежали две колоды, по 36 карт в каждой. Первую колоду перетасовали и положили на вторую. Затем для каждой карты первой колоды подсчитали количество карт между ней и такой же картой второй колоды (то есть сколько карт между семёрками червей, между дамами пик, и т.д.). Чему равна сумма 36 полученных чисел?
Может ли квадрат являться развёрткой некоторой треугольной пирамиды?
В выпуклом четырёхугольнике <i>АВСD</i> точка <i>K</i> – середина стороны <i>ВС</i>, а <i>S<sub>АВСD</sub></i> = 2<i>S<sub>АKD</sub></i>.
Найдите длину медианы <i>КЕ</i> треугольника <i>AKD</i>, если <i>AB = a, CD = b</i>.
Пусть <i>R</i><sub>1</sub>, <i>R</i><sub>2</sub> и <i>R</i><sub>3</sub> – радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны.
Докажите, что <sup>1</sup>/<sub><i>R</i><sub>1</sub></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>R</i><sub>2</sub></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>R</i><sub>3</sub></sub> ≤ <sup>1</sup>/<sub><i>r</i></sub>, где <i>r</i> – радиус вписанной окружности этого треугольника.
Назовём натуральное число убывающим, если каждая цифра в его десятичной записи, кроме первой, меньше или равна предыдущей. Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что число 16<sup><i>n</i></sup> – убывающее?
В треугольнике <i>АВС</i> проведены медиана <i>АМ</i>, биссектриса <i>AL</i> и высота <i>AH</i>.
Найдите радиус описанной окружности Ω треугольника <i>АВС</i>, если <i>AL = t, AH = h</i> и <i>L</i> – середина отрезка <i>MH</i>.
Дан многочлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><sup>4</sup> + <i>ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx</i>. Известно, что каждое из уравнений <i>f</i>(<i>x</i>) = 1 и <i>f</i>(<i>x</i>) = 2 имеет четыре корня. Докажите, что если для корней первого уравнения выполняется равенство <i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> = <i>x</i><sub>3</sub> + <i>x</i><sub>4</sub>, то и для корней второго уравнения выполняется аналогичное равенство.
Дан куб <i>АBCDA'B'C'D'</i> c ребром 1. На его рёбрах <i>АВ, ВС, C'D'</i> и <i>D'A'</i> отмечены точки <i>K, L, M</i> и <i>N</i> соответственно так, что <i>KLMN</i> – квадрат.
Найдите его площадь.
В правильном 21-угольнике шесть вершин покрашены в красный цвет, а семь вершин – в синий.
Обязательно ли найдутся два равных треугольника, один из которых с красными вершинами, а другой – с синими?
Все грани треугольной пирамиды <i>SABC</i> – остроугольные треугольники. <i>SX</i> и <i>SY</i> – высоты граней <i>ASВ</i> и <i>BSС</i>. Известно, что четырёхугольник <i>AXYC</i> – вписанный. Докажите, что прямые <i>AC</i> и <i>BS</i> перпендикулярны.
Существует ли многогранник, проекциями которого на три попарно перпендикулярные плоскости являются: треугольник, четырёхугольник и пятиугольник?
Какое наименьшее количество цветов необходимо, чтобы покрасить все вершины, стороны и диагонали выпуклого <i>n</i>-угольника, если должны выполняться два условия:
1) каждые два отрезка, выходящие из одной вершины должны быть разного цвета;
2) цвет любой вершины должен отличаться от цвета любого отрезка, выходящего из неё?