Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Отрезки, заключенные между параллельными прямыми» для 9 класса
параграф 1. Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
НазадНа сторонах <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> взяты соответственно точки <i>P, Q, R</i> и <i>S</i>б O – точка пересечения отрезков <i>PR</i> и <i>QS</i>.
Докажите,что если <i>AP</i> : <i>AB = DR</i> : <i>DC</i> и <i>AS</i> : <i>AD = BQ</i> : <i>BC</i>, то и <i>SO</i> : <i>SQ = AP</i> : <i>AB</i>, <i>PQ</i> : <i>PR = AS</i> : ;<i>AD</i>.
На продолжениях оснований <i>AD</i> и <i>BC</i> трапеции <i>ABCD</i> за точки <i>A</i> и <i>C</i> взяты точки <i>K</i> и <i>L</i>. Отрезок <i>KL</i> пересекает стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>, а диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> в точках <i>O</i> и <i>P</i>. Докажите, что если <i>KM = NL</i>, то <i>KO = PL</i>.
Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>AD</i> и <i>BC</i> прямоугольника <i>ABCD</i>. На продолжении отрезка <i>DC</i> за точку <i>D</i> взята точка <i>P, Q</i> – точка пересечения прямых <i>PM</i> и <i>AC</i>. Докажите, что ∠<i>QNM</i> = ∠<i>MNP</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектрисы <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub>.
Докажите, что расстояние от любой точки <i>M</i> отрезка <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> до прямой <i>AB</i> равно сумме расстояний от <i>M</i> до прямых <i>AC</i> и <i>BC</i>.
а) Точки<i>A, B</i>и<i>C</i>лежат на одной прямой, а точки<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и<i>C</i><sub>1</sub>– на другой. Докажите, что если <i>AB</i><sub>1</sub>||<i>BA</i><sub>1</sub> и <i>AC</i><sub>1</sub>||<i>CA</i><sub>1</sub>, то <i>BC</i><sub>1</sub>||<i>CB</i><sub>1</sub>.б) Точки <i>A, B</i> и <i>C</i> лежат на одной прямой, а точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> таковы, что <i>AB</i>&l...
Точки <i>A</i> и <i>B</i> высекают на окружности с центром <i>O</i> дугу величиной 60°. На этой дуге взята точка <i>M</i>.
Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков <i>MA</i> и <i>OB</i>, перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков <i>MB</i> и <i>OA</i>.
На основании <i>AD</i> трапеции <i>ABCD</i> взята точка <i>E</i> так, что <i>AE = BC</i>. Отрезки <i>CA</i> и <i>CE</i> пересекают диагональ <i>BD</i> в точках <i>O</i> и <i>P</i> соответственно.
Докажите, что если <i>BO = PD</i>, то <i>AD</i>² = <i>BC</i>² + <i>AD·BC</i>.
Одна из диагоналей вписанного в окружность четырёхугольника является диаметром.
Докажите, что проекции противоположных сторон на другую диагональ равны.
На диагонали <i>BD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> взята точка <i>K</i>. Прямая <i>AK</i> пересекает прямые <i>BC</i> и <i>CD</i> в точках <i>L</i> и <i>M</i>. Докажите, что <i>AK</i>² = <i>LK·KM</i>.
Вершины параллелограмма <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub> лежат на сторонах параллелограмма <i>ABCD</i> (точка <i>A</i><sub>1</sub> лежит на стороне <i>AB</i>, точка <i>B</i><sub>1</sub> – на стороне <i>BC</i> и т. д.).
Докажите, что центры обоих параллелограммов совпадают.
На стороне <i>AD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> взята точка <i>P</i> так, что <i>AP</i> : <i>AD</i> = 1 : <i>n, Q</i> – точка пересечения прямых <i>AC</i> и <i>BP</i>.
Докажите, что <i>AQ</i> : <i>AC</i> = 1 : (<i>n</i> + 1).
Прямая, соединяющая точку <i>P</i> пересечения диагоналей четырёхугольника <i>ABCD</i> с точкой <i>Q</i> пересечения прямых <i>AB</i> и <i>CD</i>, делит сторону <i>AD</i> пополам.
Докажите, что она делит пополам и сторону <i>BC</i>.
а) Точки<i>A</i><sub>1</sub>и<i>B</i><sub>1</sub>делят стороны<i>BC</i>и<i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>в отношениях <i>BA</i><sub>1</sub>:<i>A</i><sub>1</sub><i>C</i>= 1 :<i>p</i> и <i>AB</i><sub>1</sub>:<i>B</i><sub>1</sub><i>C</i>= 1 :<i>q</i>. В каком отношении отрезок<i>AA</i><sub>1</sub>делится отрезком<i>BB</i><sub>1</sub>?б) На сторонах <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1&...
Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника – вершины параллелограмма.
Для каких четырёхугольников этот параллелограмм является прямоугольником, для каких – ромбом, для каких – квадратом?
Основания <i>AD</i> и <i>BC</i> трапеции <i>ABCD</i> равны <i>a</i> и <i>b</i> (<i>a > b</i>).
а) Найдите длину отрезка, высекаемого диагоналями на средней линии.
б) Найдите длину отрезка <i>MN</i>, концы которого делят стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> в отношении <i>AM</i> : <i>MB = DN</i> : <i>NC = p</i> : <i>q</i>.
Через точку <i>P</i>, лежащую на медиане <i>CC</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i>, проведены прямые <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> (точки <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub> лежат на сторонах <i>BC</i> и <i>CA</i> соответственно).
Докажите, что <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> || <i>AB</i>.