Олимпиадные задачи из источника «25 турнир (2003/2004 год)» для 2-9 класса

Дан треугольник <i>ABC</i>. В нём <i>H</i> – точка пересечения высот, <i>I</i> – центр вписанной окружности, <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>K</i> – точка касания вписанной окружности со стороной <i>BC</i>. Известно, что отрезки  <i>IO || BC</i>.  Докажите, что отрезки  <i>AO || HK</i>.

Дан квадрат, внутри которого лежит точка <i>O</i>. Докажите, что сумма углов <i>OAB, OBC, OCD</i> и <i>ODA</i> отличается от 180° не больше чем на 45°.

На сторонах единичного квадрата как на гипотенузах построены во внешнюю сторону прямоугольные треугольники. Пусть <i>A, B, C</i> и <i>D</i> – вершины их прямых углов, а <i>O</i>₁, <i>O</i>₂, <i>O</i>₃ и <i>O</i>₄ – центры вписанных окружностей этих треугольников. Докажите, что

  а) площадь четырёхугольника <i>ABCD</i> не превосходит 2;

  б) площадь четырёхугольника <i>O</i>₁<i>O</i>₂<i>O</i>₃<i>O</i>₄ не превосходит 1.

В выпуклом семиугольнике <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄<i>A</i>₅<i>A</i>₆<i>A</i>₇ диагонали <i>A</i>₁<i>A</i>₃, <i>A</i>₂<i>A</i>₄, <i>A</i>₃<i>A</i>₅, <i>A</i>₄<i>A</i>₆, <i>A</i>₅<i>A</i>₇, <i&...

Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел, а её сумма – степень двойки.

Докажите, что количество членов прогрессии тоже степень двойки.

Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника – лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины <i>A</i> с (внутренним) углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину <i>A</i>.

Курс акций компании "Рога и копыта" каждый день в 12.00 повышается или понижается на <i>n</i>%, где <i>n</i> – фиксированное натуральное число, меньшее 100 (курс не округляется). Существует ли <i>n</i>, для которого курс акций может дважды принять одно и то же значение?

Каждая грань прямоугольного параллелепипеда 3×4×5 разделена на единичные квадратики. Можно ли вписать во все квадратики по числу так, чтобы сумма чисел в каждом клетчатом кольце ширины 1, опоясывающем параллелепипед, равнялась 120?

Имеется бильярдный стол в виде многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого все углы составляют целое число градусов, а угол <i>A</i> – в точности 1°. В вершинах находятся точечные лузы, попав в которые шар проваливается. Из вершины <i>A</i> вылетает точечный шар и движется внутри многоугольника, отражаясь от сторон по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину <i>A</i>.

Первоначально на доске написано число 2004!. Два игрока ходят по очереди. Игрок в свой ход вычитает из написанного числа какое-нибудь натуральное число, которое делится не более чем на 20 различных простых чисел (так, чтобы разность была неотрицательна), записывает на доске эту разность, а старое число стирает. Выигрывает тот, кто получит 0. Кто из играющих – начинающий или его соперник – может гарантировать себе победу, и как ему следует играть?

Периметр выпуклого четырёхугольника равен 2004, одна из диагоналей равна 1001. Может ли вторая диагональ быть равна  а) 1;  б) 2;  в) 1001?

Звенья <i>AB, BC</i> и <i>CD</i> ломаной <i>ABCD</i> равны по длине и касаются некоторой окружности.

Доказать, что точка <i>K</i> касания этой окружности со звеном <i>BC</i>, её центр <i>O</i> и точка пересечения прямых <i>AC</i> и <i>BD</i> лежат на одной прямой.

Два десятизначных числа назовем <i>соседними</i>, если они различаются только одной цифрой в каком-то из разрядов (например, 1234567890 и 1234507890 соседние). Какое наибольшее количество десятизначных чисел можно выписать так, чтобы среди них не было соседних?

К натуральному числу  <i>a</i> > 1  приписали это же число и получили число <i>b</i>, кратное <i>a</i>². Найдите все возможные значения числа  ^<i>b</i>/_<i>a</i>².

а) Есть три одинаковых больших сосуда. В одном – 3 л сиропа, в другом – 20 л воды, третий – пустой. Можно выливать из одного сосуда всю жидкость в другой или в раковину. Можно выбрать два сосуда и доливать в один из них из третьего, пока уровни жидкости в выбранных сосудах не сравняются. Как получить 10 л разбавленного 30%-го сиропа? б) То же, но воды – <i>N</i> л. При каких целых <i>N</i> можно получить 10 л разбавленного 30%-го сиропа?

Сумма <i>n</i> последовательных натуральных чисел – простое число. Найдите все <i>n</i>, при которых это возможно.

Какое наименьшее число клеток надо отметить на доске 15×15 так, чтобы слон с любой клетки доски бил не менее двух отмеченных клеток? (Слон бьёт и ту клетку, где стоит.)

а) В таблице <i>m</i>×<i>n</i> расставлены знаки "+" и "–". За один ход разрешается поменять знаки на противоположные в любой строке или столбце. Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 2×2, который тоже не приводится.б) В таблице <i>m</i>×<i>n</i> расставлены знаки "+" и "–". За один ход разрешается поменять знаки на противоположные в любой строке или столбце или на любой диагонали (угловые клетки тоже считаются диагоналями). Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 4×4, который тоже не приводится.

В треугольнике <i>ABC</i> биссектриса <i>AL</i>, серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> и высота <i>BK</i> пересекаются в одной точке. Докажите, что биссектриса <i>AL</i>, серединный перпендикуляр к <i>AC</i> и высота <i>CH</i>, также пересекаются в одной точке.

Играют двое. У первого 1000 чётных карточек (2, 4, ..., 2000), у второго – 1001 нечётная (1, 3, ... , 2001). Ходят по очереди, начинает первый. Ход состоит в следующем: игрок, чья очередь ходить, выкладывает одну из своих карточек, а другой, посмотрев на неё, выкладывает одну из своих карточек; тот, у кого число на карточке больше, записывает себе одно очко, а обе выложенные карточки выбрасываются. Всего получается 1000 ходов (одна карточка второго не используется). Какое наибольшее число очков может гарантировать себе каждый из игроков (как бы ни играл его соперник)?

Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по поверхности (но не внутри) которой ползает муравей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между двумя точками считаем длину соединяющего их кратчайшего пути <i>по поверхности параллелепипеда</i>.)

Найдите все натуральные числа <i>k</i>, для которых найдутся такие натуральные числа <i>m</i> и <i>n</i>, что  <i>m</i>(<i>m + k</i>) = <i>n</i>(<i>n</i> + 1).

Имеется несколько юношей, каждый из которых знаком с некоторыми девушками. Две свахи знают, кто с кем знаком. Одна сваха заявляет: "Я могу одновременно поженить всех брюнетов так, чтобы каждый из них женился на знакомой ему девушке!" Вторая сваха говорит: "А я могу устроить судьбу всех блондинок: каждая выйдет замуж за знакомого юношу!" Этот диалог услышал любитель математики, который сказал: "В таком случае можно сделать и то, и другое!" Прав ли он?

Сто натуральных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Возможно ли, что каждые два из этих чисел взаимно просты?

<i>N</i> точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, попарно соединили отрезками (каждую с каждой). Часть отрезков покрасили красным, остальные – синим. Все красные отрезки образовали замкнутую несамопересекающуюся ломаную, и все синие отрезки – тоже. Найдите все <i>N</i>, при которых это могло получиться.