Олимпиадные задачи из источника «29 турнир (2007/2008 год)» для 1-8 класса - сложность 1-5 с решениями

Середина одной из сторон треугольника и основания высот, опущенных на две другие стороны, образуют равносторонний треугольник.

Верно ли, что исходный треугольник тоже равносторонний?

Фокусник с завязанными глазами выдаёт зрителю пять карточек с номерами от 1 до 5. Зритель прячет две карточки, а три отдаёт ассистенту фокусника. Ассистент указывает зрителю на две из них, и зритель называет номера этих карточек фокуснику (в том порядке, в каком захочет). После этого фокусник угадывает номера карточек, спрятанных у зрителя. Как фокуснику и ассистенту договориться, чтобы фокус всегда удавался?

В таблицу 29×29 вписали числа 1, 2, 3, ..., 29, каждое по 29 раз. Оказалось, что сумма чисел над главной диагональю в три раза больше суммы чисел под этой диагональю. Найдите число, вписанное в центральную клетку таблицы.

На бумажке записаны 1 и некоторое нецелое число <i>x</i>. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке

число <i>x</i>²?

Какое наибольшее число белых и чёрных фишек можно расставить на шахматной доске так, чтобы на каждой горизонтали и на каждой вертикали белых фишек было ровно в два раза больше, чем чёрных?

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> нет параллельных сторон. Углы, образованные сторонами четырёхугольника с диагональю <i>AC</i>, равны (в каком-то порядке) 16°, 19°, 55° и 55°. Каким может быть острый угол между диагоналями <i>AC</i> и <i>BD</i>?

Существуют ли такие натуральные числа <i>a, b, c, d</i>, что  ^<i>a</i>/_<i>b</i> + ^<i>c</i>/_<i>d</i> = 1,  ^<i>a</i>/_<i>d</i> + ^<i>c</i>/_<i>b</i> = 2008?

По кругу стоят 99 детей, изначально у каждого есть мячик. Ежеминутно каждый ребёнок с мячиком кидает свой мячик одному из двух соседей; при этом, если два мячика попадают к одному ребёнку, то один из этих мячиков теряется безвозвратно. Через какое наименьшее время у детей может остаться только один мячик?

Несколько (конечное число) точек плоскости окрашены в четыре цвета, причём есть точки каждого цвета. Никакие три из этих точек не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся три разных (возможно, пересекающихся) треугольника, каждый из которых имеет вершины трёх разных цветов и не содержит внутри себя окрашенных точек.

Дана клетчатая полоска (шириной в одну клетку), бесконечная в обе стороны. Две клетки полоски являются <i>ловушками</i>, между ними – <i>N</i> клеток, на одной из которых сидит кузнечик. На каждом ходу мы называем натуральное число, после чего кузнечик прыгает на это число клеток влево или вправо (по своему выбору). При каких <i>N</i> можно называть числа так, чтобы гарантированно загнать кузнечика в одну из ловушек, где бы он ни был изначально между ловушками и как бы ни выбирал направления прыжков? (Мы всё время видим, где сидит кузнечик.)

На сторонах <i>АВ</i> и <i>ВС</i> треугольника <i>АВС</i> выбраны точки <i>К</i> и <i>М</i> соответственно так, что  <i>КМ || АС</i>.  Отрезки <i>АМ</i> и <i>КС</i> пересекаются в точке <i>О</i>. Известно, что  <i>АК = АО</i>  и  <i>КМ = МС</i>.  Докажите, что  <i>АМ = КВ</i>.

Число <i>N</i> является произведением двух последовательных натуральных чисел. Докажите, что

  а) можно приписать к этому числу справа две цифры так, чтобы получился точный квадрат;

  б) если  <i>N</i> > 12,  это можно сделать единственным способом.

Клетки доски 10·10 раскрашены в красный, синий и белый цвета. Каждые две клетки с общей стороной раскрашены в разные цвета. Известно, что красных клеток 20.   а) Докажите, что всегда можно вырезать 30 прямоугольников, каждый из которых состоит из двух клеток – белой и синей.   б) Приведите пример раскраски, когда можно вырезать 40 таких прямоугольников.   в) Приведите пример раскраски, когда нельзя вырезать больше 30 таких прямоугольников.

Найдите все натуральные <i>n</i>, при которых  (<i>n</i> + 1)!  делится на сумму  1! + ... + <i>n</i>!.

Есть тридцать карточек, на каждой написано по числу: на десяти карточках – <i>a</i>, на десяти других – <i>b</i>, и на десяти оставшихся – <i>c</i> (числа <i>a, b, c</i> все разные). Известно, что к любым пяти карточкам можно подобрать еще пять так, что сумма чисел на этих десяти карточках будет равна нулю. Докажите, что одно из чисел <i>a, b, c</i> равно нулю.

На плоскости нарисовали 10 равных отрезков и отметили все их точки пересечения. Оказалось, что каждая точка пересечения делит любой проходящий через неё отрезок в отношении  3 : 4.  Каково наибольшее возможное число отмеченных точек?

В выпуклом шестиугольнике <i>ABCDEF</i> противоположные стороны попарно параллельны  (<i>AB || DE,  BC || EF,  CD || FA</i>),  а также  <i>AB = DE</i>.

Докажите, что  <i>BC = EF</i>  и  <i>CD = FA</i>.

Володя решил стать великим писателем. Для этого он каждой букве русского языка сопоставил слово, содержащее эту букву. Потом написал слово, сопоставленное букве "A". Дальше каждую букву в нем заменил на сопоставленное ей слово (разделяя слова пробелами), потом в получившемся тексте вновь заменил каждую букву на сопоставленное ей слово, и так всего 40 раз. Володин текст начинается так: "РЯД КОРАБЛЕЙ НА ДРЕМЛЮЩИХ МОРЯХ". Докажите, что этот оборот встречается в Володином тексте еще хотя бы раз.

Фокуснику завязывают глаза, а зритель выкладывает в ряд <i>N</i> одинаковых монет, сам выбирая, какие – орлом вверх, а какие – решкой. Ассистент фокусника просит зрителя написать на листе бумаги любое целое число от 1 до <i>N</i> и показать его всем присутствующим. Увидев число, ассистент указывает зрителю на одну из монет ряда и просит перевернуть её. Затем фокуснику развязывают глаза, он смотрит на ряд монет и безошибочно определяет написанное зрителем число.

  a) Докажите, что если у фокусника с ассистентом есть способ, позволяющий фокуснику гарантированно отгадывать число для  <i>N = k</i>,  то есть способ и для  <i>N</i> = 2<i>k</i>.

  б) Найдите все значения <i>N</i>, для которых у фокусника с ассистентом е...

Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины равна сумме моментов гирь слева; иначе отклонятся в сторону, где сумма больше. <i>Моментом</i> гири называется произведение <i>ms</i> массы гири <i>m</i> на расстояние <i>s</i> он нее до середины отрезка.)

Дана клетчатая полоса  1×<i>N</i>.  Двое играют в следующую игру. На очередном ходу первый игрок ставит в одну из свободных клеток крестик, а второй – нолик. Не разрешается ставить в соседние клетки два крестика или два нолика. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Кто из игроков может всегда выиграть (как бы ни играл его соперник)?

Миша стоит в центре круглой лужайке радиуса 100 метров. Каждую минуту он делает шаг длиной 1 метр. Перед каждым шагом он объявляет направление, в котором хочет шагнуть. Катя имеет право заставить его сменить направление на противоположное. Может ли Миша действовать так, чтобы в какой-то момент обязательно выйти с лужайки, или Катя всегда сможет ему помешать?

a) Петя и Вася задумали по три натуральных числа. Петя для каждых двух своих чисел написал на доске их наибольший общий делитель. Вася для каждых двух из своих чисел написал на доске их наименьшее общее кратное. Оказалось, что Петя написал на доске те же числа, что и Вася (возможно в другом порядке). Докажите, что все написанные на доске числа равны. б) Останется ли верным утверждение предыдущей задачи, если Петя и Вася изначально задумали по четыре натуральных числа?

На стороне <i>CD</i> ромба <i>ABCD</i> нашлась такая точка <i>K</i>, что  <i>AD = BK</i>.  Пусть <i>F</i> – точка пересечения диагонали <i>BD</i> и серединного перпендикуляра к стороне <i>BC</i>. Докажите, что точки <i>A, F</i> и <i>K</i> лежат на одной прямой.