Олимпиадные задачи из источника «параграф 8. Теорема Чевы» для 7-10 класса - сложность 4-5 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i>проведены биссектрисы <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁. Биссектрисы <i>AA</i>₁и <i>CC</i>₁пересекают отрезки <i>C</i>₁<i>B</i>₁и <i>B</i>₁<i>A</i>₁в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что $\angle$<i>MBB</i>₁=$\angle$<i>NBB</i>₁.

а) На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>с основанием <i>AB</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁так, что прямые <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в одной точке. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ABB_1\sin CAA_1}{\sin BAA_1\sin CBB_1}}$. </div> б) Внутри равнобедренного треугольника <i>ABC</i>с основанием <i>AB</i>взяты точки <i>M</i>и <i&...

Внутри треугольника<i>ABC</i>взята точка<i>X</i>. Прямая<i>AX</i>пересекает описанную окружность в точке<i>A</i>₁. В сегмент, отсекаемый стороной<i>BC</i>, вписана окружность, касающаяся дуги<i>BC</i>в точке<i>A</i>₁, а стороны<i>BC</i> — в точке<i>A</i>₂. Точки<i>B</i>₂и<i>C</i>₂определяются аналогично. Докажите, что прямые<i>AA</i>₂,<i>BB</i>₂и<i>CC</i>₂пересекаются в одной точке.

Вписанная окружность треугольника<i>ABC</i>касается его сторон в точках<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁. Внутри треугольника<i>ABC</i>взята точка<i>X</i>. Прямая<i>AX</i>пересекает дугу<i>B</i>₁<i>C</i>₁вписанной окружности в точке<i>A</i>₂; точки<i>B</i>₂и<i>C</i>₂определяются аналогично. Докажите, что прямые<i>A</i>₁<i>A</i>₂,<i>B</i>₁<i>B</i><sub>...

Через точки <i>A</i>и <i>D</i>, лежащие на окружности, проведены касательные, пересекающиеся в точке <i>S</i>. На дуге <i>AD</i>взяты точки <i>B</i>и <i>C</i>. Прямые <i>AC</i>и <i>BD</i>пересекаются в точке <i>P</i>, <i>AB</i>и <i>CD</i> — в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямая <i>PQ</i>проходит через точку <i>S</i>.

Из некоторой точки <i>P</i>опущены перпендикуляры <i>PA</i>₁и <i>PA</i>₂на сторону <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>и на высоту <i>AA</i>₃. Аналогично определяются точки <i>B</i>₁,<i>B</i>₂и <i>C</i>₁,<i>C</i>₂. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂,<i>B</i>₁<i>B</i>₂и <i>C</i>₁<i>C</i>₂пересекаются в одной...

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно параллельны. Докажите, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Касательные к описанной окружности треугольника<i>ABC</i>в точках<i>B</i>и<i>C</i>пересекаются в точке<i>P</i>. Точка<i>Q</i>симметрична точке<i>A</i>относительно середины отрезка<i>BC</i>. Докажите, что точки<i>P</i>и<i>Q</i>изогонально сопряжены.

Докажите, что при изогональном сопряжении окружность, проходящая через вершины<i>B</i>и<i>C</i>и отличная от описанной окружности, переходит в окружность, проходящую через вершины<i>B</i>и<i>C</i>.

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, причем прямые <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в одной точке <i>P</i>. Докажите, что прямые <i>AA</i>₂,<i>BB</i>₂и <i>CC</i>₂, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке <i>Q</i>.

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$^.$\displaystyle {\frac{BA_1}{A_1C}}$^.$\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ACC_1}{\sin C_1CB}}$^.$\displaystyle {\frac{\sin BAA_1}{\sin A_1AC}}$^.$\displaystyle {\frac{\sin CBB_1}{\sin B_1BA}}$. </div>

Прямые <i>AP</i>,<i>BP</i>и <i>CP</i>пересекают прямые <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁соответственно. Точки <i>A</i>₂,<i>B</i>₂и <i>C</i>₂выбраны на прямых <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>так, что $\overline{BA_2}$:$\overline{A_2C}$=$\overline{A_1C}$:$\overline{BA_1}$, $\overline{CB_2}$:$\overline{B_2A}$=$\overline{B_1A}$:$\overline{CB_1}$и $\overline{AC_2}$:$\overline{C_2B}$=$\overline{C_1B}$:$\overline{AC_1}$. Докажите, что прямые <i>...

Стороны <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>касаются окружности с центром <i>O</i>в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. На лучах <i>OA</i>₁,<i>OB</i>₁и <i>OC</i>₁отложены равные отрезки <i>OA</i>₂,<i>OB</i>₂и <i>OC</i>₂. Докажите, что прямые <i>AA</i>₂,<i>BB</i>₂и <i>CC</i>₂пересекаются в одной точк...

а) Пусть $\alpha$,$\beta$и $\gamma$ — произвольные углы, причем сумма любых двух из них меньше 180^<tt>o</tt>. На сторонах треугольника <i>ABC</i>внешним образом построены треугольники <i>A</i>₁<i>BC</i>,<i>AB</i>₁<i>C</i>и <i>ABC</i>₁, имеющие при вершинах <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>углы $\alpha$,$\beta$и $\gamma$. Докажите, что прямые <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в одной точке. б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных на сторонах треуг...

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁так, что отрезки <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в одной точке. Прямые <i>A</i>₁<i>B</i>₁и <i>A</i>₁<i>C</i>₁пересекают прямую, проходящую через вершину <i>A</i>параллельно стороне <i>BC</i>, в точках <i>C</i>₂и <i>B...

Прямые <i>AP</i>,<i>BP</i>и <i>CP</i>пересекают стороны треугольника <i>ABC</i>(или их продолжения) в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что: а) прямые, проходящие через середины сторон <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>параллельно прямым <i>AP</i>,<i>BP</i>и <i>CP</i>, пересекаются в одной точке; б) прямые, соединяющие середины сторон <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>с серединами отрезков <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁,...

Докажите, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Вписанная (или вневписанная) окружность треугольника <i>ABC</i>касается прямых <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что прямые <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в одной точке.

Дан треугольник <i>ABC</i>. На прямых <i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>взяты точки <i>C</i>₁,<i>A</i>₁и <i>B</i>₁, причем <i>k</i>из них лежат на сторонах треугольника и 3 -<i>k</i> — на продолжениях сторон. Пусть<div align="CENTER"> <i>R</i> = $\displaystyle {\frac{BA_1}{CA_1}}$^.$\displaystyle {\frac{CB_1}{AB_1}}$^.$\displaystyle {\frac{AC_1}{BC_1}}$. </div> Докажите, что: а) точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁лежат на одной прямой...