Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Построения» - сложность 2 с решениями

Дан угол <i>AOB</i>. С помощью прямого угла постройте: а) угол, вдвое больший угла <i>AOB</i>; б) угол, вдвое меньший угла <i>AOB</i>.

Дан отрезок <i>AB</i>. С помощью прямого угла постройте: а) середину отрезка <i>AB</i>; б) отрезок <i>AC</i>, серединой которого является точка <i>B</i>.

С помощью одной двусторонней линейки: а) через данную точку проведите прямую, параллельную данной прямой; б) постройте середину данного отрезка.

С помощью одной двусторонней линейки восставьте перпендикуляр к данной прямой <i>l</i>в данной точке <i>A</i>.

Выполните построения с помощью линейки с двумя параллельными краями (двусторонней линейки) без циркуля. а) Постройте биссектрису данного угла <i>AOB</i>. б) Дан острый угол <i>AOB</i>. Постройте угол <i>BOC</i>, биссектрисой которого является луч <i>OA</i>.

Докажите, что угол величиной <i>n</i>^<tt>o</tt>, где <i>n</i> — целое число, не делящееся на 3, можно разделить на <i>n</i>равных частей с помощью циркуля и линейки.

а) На параллельных прямых <i>a</i>и <i>b</i>даны точки <i>A</i>и <i>B</i>. Проведите через данную точку <i>C</i>прямую <i>l</i>, пересекающую прямые <i>a</i>и <i>b</i>в таких точках <i>A</i>₁и <i>B</i>₁, что <i>AA</i>₁=<i>BB</i>₁. б) Проведите через точку <i>C</i>прямую, равноудаленную от данных точек <i>A</i>и <i>B</i>.

Даны окружность <i>S</i>, точка <i>A</i>на ней и прямая <i>l</i>. Постройте окружность, касающуюся данной окружности в точке <i>A</i>и данной прямой.

Постройте четырехугольник <i>ABCD</i>по четырем сторонам и углу между <i>AB</i>и <i>CD</i>.

Постройте ромб, две стороны которого лежат на двух данных параллельных прямых, а две другие проходят через две данные точки.

Постройте квадрат, три вершины которого лежат на трёх данных параллельных прямых.

Постройте треугольник по сторонам <i>a</i>и <i>b</i>, если известно, что угол против одной из них в три раза больше угла против другой.

Постройте точки <i>X</i>и <i>Y</i>на сторонах <i>AB</i>и <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>так, что <i>AX</i>=<i>BY</i>и <i>XY</i>|<i>AC</i>.

Постройте треугольник <i>ABC</i>, зная три точки <i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i>, симметричные точке пересечения высот треугольника относительно сторон <i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>(оба треугольника остроугольные).

Постройте треугольник <i>ABC</i>, зная три точки <i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i>, симметричные центру <i>O</i>описанной окружности этого треугольника относительно сторон <i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>.

а) Постройте треугольник <i>ABC</i>, зная три точки <i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i>, в которых биссектрисы его углов пересекают описанную окружность (оба треугольника остроугольные). б) Постройте треугольник <i>ABC</i>, зная три точки <i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i>, в которых высоты треугольника пересекают описанную окружность (оба треугольника остроугольные).

Постройте равнобедренный треугольник, если заданы основания его биссектрис.

Постройте треугольник <i>ABC</i>, если дана прямая <i>l</i>, на которой лежит сторона <i>AB</i>, и точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁ — основания высот, опущенных на стороны <i>BC</i>и <i>AC</i>.

Потроить треугольник по стороне<i>a</i>, высоте к стороне <i>b</i><i>h</i>_bи медиане к стороне <i>b</i> <i>m</i>_b.

Потроить треугольник по$\angle$<i>A</i>, высоте к стороне <i>b</i><i>h</i>_bи высоте к стороне <i>c</i> <i>h</i>_c.

Потроить треугольник по высоте к стороне <i>b</i><i>h</i>_b, высоте к стороне <i>c</i><i>h</i>_cи медиане к стороне <i>a</i> <i>m</i>_a.

Постройте треугольник <i>ABC</i>по <i>h</i>_a,<i>h</i>_bи <i>h</i>_c.

Даны окружность и две точки <i>A</i>и <i>B</i>внутри ее. Впишите в окружность прямоугольный треугольник так, чтобы его катеты проходили через данные точки.

Постройте треугольник по <i>a</i>,<i>m</i>_cи углу <i>A</i>.

Проведите через данную точку <i>P</i>, лежащую внутри данной окружности, хорду так, чтобы разность длин отрезков, на которые <i>P</i>делит хорду, имела данную величину <i>a</i>.