Олимпиадные задачи из источника «XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)» - сложность 3-4 с решениями

Дан неравнобедренный треугольник <i>ABC, AA</i>₁ – его биссектриса, <i>A</i>₂ – точка касания вписанной окружности со стороной <i>BC</i>. Аналогично определяются точки <i>B</i>₁, <i>B</i>₂, <i>C</i>₁, <i>C</i>₂. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника, <i>I</i> – центр вписанной окружности. Докажите, что радикальный центр описанных окружностей треугольников <i>AA</i>₁<i>A</i>₂, <i>BB</i>₁<i>B</i><sub>2</sub&...

Постройте треугольник по вершине <i>A</i>, центру <i>O</i> описанной окружности и <i>точке Лемуана L</i>.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Точка <i>K</i> – основание биссектрисы внешнего угла <i>A</i>. Точка <i>M</i> – середина дуги <i>AC</i> описанной окружности. Точка <i>N</i> выбрана на биссектрисе угла <i>C</i> так, что  <i>AN || BM</i>.  Докажите, что точки <i>M, N</i> и <i>K</i> лежат на одной прямой.

Дьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму <i>s</i> и называет 97 троек  {<i>i, j, k</i>},  где <i>i, j, k</i> – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₁₀₀ с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников <i>A_iA_jA_k</i>. При каком наибольшем <i>s</i> Человеку выгодно согласиться?

Даны два треугольника <i>ABC</i> и <i>A'B'C'</i>, имеющие общие описанную и вписанную окружности, и точка <i>P</i>, лежащая внутри обоих треугольников.

Докажите, что сумма расстояний от <i>P</i> до сторон треугольника <i>ABC</i> равна сумме расстояний от <i>P</i> до сторон треугольника <i>A'B'C'</i>.

В треугольнике<i>ABC  I</i>и<i>I_a</i>– центры вписанной и вневписанной окружностей,<i>A'</i>точка описанной окружности, диаметрально противоположная<i>A, AA</i>₁– высота. Докажите, что  ∠<i>IA'I_a</i>= ∠<i>IA</i>₁<i>I_a</i>.

Диагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Окружность ω касается отрезка <i>MA</i> в точке <i>P</i>, отрезка <i>MD</i> в точке <i>Q</i> и описанной окружности Ω четырёхугольника <i>ABCD</i> в точке <i>X</i>. Докажите, что <i>X</i> лежит на радикальной оси описанных окружностей ω_<i>Q</i> и ω_<i>P</i> треугольников <i>ACQ</i> и <i>BDP</i>.

Из высот остроугольного треугольника можно составить треугольник. Докажите, что из его биссектрис тоже можно составить треугольник.

Есть 101 жук, среди которых некоторые являются друзьями. Известно, что любые 100 жуков могут расположиться на плоскости так, что каждые два из них будут друзьями тогда и только тогда, когда расстояние между ними равно 1. Верно ли, что все жуки тоже могут расположиться таким же образом?

В треугольнике <i>ABC  O</i> – центр описанной окружности, <i>I</i> – центр вписанной. Прямая, проходящая через <i>I</i> и перпендикулярная <i>OI</i>, пересекает <i>AB</i> в точке <i>X</i>, а внешнюю биссектрису угла <i>C</i> – в точке <i>Y</i>. В каком отношении <i>I</i> делит отрезок <i>XY</i>?

Пусть <i>H</i> – ортоцентр остроугольного треугольника <i>ABC</i>. На касательной в точке <i>H</i> к описанной окружности ω_<i>A</i> треугольника <i>BHC</i> взята точка <i>X_A</i>, что  <i>AH = AX_A</i>  и  <i>H ≠ X_A</i>.  Аналогично определены точки <i>X_B</i> и <i>X_C</i>. Докажите, что треугольник <i>X_AX_BX_C</i> и ортотреугольник треугольника <i>ABC</i> подобны.

В точке <i>X</i> сидит преступник, а три полицейских, находящихся в точках <i>A, B</i> и <i>C</i>, блокируют его, то есть точка <i>X</i> лежит внутри треугольника <i>ABC</i>. Новый полицейский сменяет одного из них следующим образом: он занимает точку, равноудаленную от всех трёх полицейских, после чего один из троих уходит, и оставшаяся тройка по-прежнему блокирует преступника. Так происходит каждый вечер. Может ли случиться, что через какое-то время полицейские вновь займут точки <i>A, B</i> и <i>C</i> (известно, что точка <i>X</i> ни разу не попала на сторону треугольника)?

Диагонали четырёхугольника <i>ABCD</i> равны и пересекаются в точке <i>O</i>. Серединные перпендикуляры к сторонам <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а серединные перпендикуляры к сторонам <i>BC</i> и <i>AD</i> – в точке <i>Q</i>. Найдите угол <i>POQ</i>.

Можно ли разрезать правильный десятиугольник по нескольким диагоналям и сложить из получившихся кусков два правильных многоугольника?

Даны трапеция <i>ABCD</i> и перпендикулярная её основаниям <i>AD</i> и <i>BC</i> прямая <i>l</i>. По <i>l</i> движется точка <i>X</i>. Перпендикуляры, опущенные из <i>A</i> на <i>BX</i> и из <i>D</i> на <i>CX</i> пересекаются в точке <i>Y</i>. Найдите ГМТ  <i>Y</i>.

Описанная окружность треугольника <i>ABC</i> пересекает стороны <i>AD</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Пусть <i>M</i> – середина дуги <i>KL</i>, не содержащей точку <i>B</i>. Докажите, что  <i>DM</i> ⊥ <i>AC</i>.

В призму <i>ABCA'B'C'</i> вписана сфера, касающаяся боковых граней <i>BCC'B', CAA'C, ABB'A'</i> в точках <i>A</i>₀, <i>B</i>₀, <i>C</i>₀ соответственно. При этом

∠<i>A₀BB'</i> = ∠<i>B₀CC'</i> = ∠<i>C₀AA'</i>.

  а) Чему могут равняться эти углы?

  б) Докажите, что отрезки <i>AA</i>₀, <i>BB</i>₀, <i>CC</i>₀ пересекаются в одной точке.

  в) Докажите, что проекции центра сферы на прямые <i>...

Дан тетраэдр, в который можно вписать сферу, касающуюся всех его рёбер. Пусть отрезки касательных из вершин равны <i>a, b, c</i> и <i>d</i>. Всегда ли можно из этих четырёх отрезков сложить какой-нибудь треугольник? (Не обязательно использовать все отрезки. Разрешается образовывать сторону треугольника из двух отрезков.)

Пусть <i>M_A, M_B, M_C</i> – середины сторон неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>, точки <i>H_A, H_B, H_C</i>, отличные от <i>M_A, M_B, M_C</i>, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что  <i>M_AH_B = M_AH_C,  M_BH_A = M_BH_C,  M_CH_A = M_CH_B</i>.  Докажите, что &lt...

<i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – высоты треугольника <i>ABC</i>. Касательные к описанной окружности треугольника <i>AB</i>₁<i>C</i>₁ в точках <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ пересекают прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>AMN</i> и <i>AB</i>₁<i>C</i>₁ лежит на прямой Эйлера треугольника <i>ABC</i>.

Вписанная окружность ω треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>BC, AC</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i>₀, <i>B</i>₀ и <i>C</i>₀ соответственно. Биссектрисы углов <i>B</i> и <i>C</i> пересекают серединный перпендикуляр к отрезку <i>AA</i>₀ в точках <i>Q</i> и <i>P</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>PC</i>₀ и <i>QB</i>₀ пересекаются на окружности ω.

Правильный шестиугольник <i>ABCDEF</i> вписан в окружность. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> выбраны на касательных, проведённых к этой окружности в точках <i>A</i> и <i>D</i> соответственно, так, что прямая <i>PQ</i> касается меньшей дуги <i>EF</i> этой окружности. Найдите угол между прямыми <i>PB</i> и <i>QC</i>.

На стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> взята произвольная точка <i>D</i>. Через <i>D</i> и <i>A</i> проведены окружности ω₁ и ω₂ так, что прямая <i>BA</i> касается ω₁, прямая <i>CA</i> касается ω₂. <i>BX</i> – вторая касательная, проведённая из точки <i>B</i> к окружности ω₁, <i>CY</i> – вторая касательная, проведённая из точки <i>C</i> к окружности ω₂. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>XDY</i> касается прямой <i>BC</i>.

В треугольнике <i>ABC  O, M, N</i> – центр описанной окружности, центр тяжести и <i>точка Нагеля</i> соответственно.

Докажите, что угол <i>MON</i> прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине <i>A</i>, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке <i>A</i>₁. Аналогично определяются точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁.

  а) Докажите, что прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке.

  б) Пусть <i>A</i>₂ – точка касания ω со стороной <i>BC</i>. Докажите, что прямые <i>AA</i>₁ и <i>AA</i><sub>2</sub&g...